Question

【题目】正方形中，点分别在边，上，且．

（1）将绕着点顺时针旋转90°，得到（如图①），求证：；

（2）若直线与，的延长线分别交于点（如图②），求证：；

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段，，之间的数量关系 ．（不要求书写证明过程）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；
（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，结合勾股定理以及相等线段可得（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，所以2（DF2+BE2）=EF2．

解：（1）证明：绕着点顺时针旋转，得到，

，，

，

，

在与中，

，

；

（2）证明：设正方形的边长为．

将绕着点顺时针旋转，得到，连结．

则，．

由（1）知，

．

，

、、均为等腰直角三角形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，，

；

（3）解：．

如图所示，延长交延长线于点，交延长线于点，

将绕着点顺时针旋转，得到，连结，．

由（1）知，

则由勾股定理有，

即，

又，，，

∴有，

∴，

即.