Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE与⊙O切于点C，交AB的延长线于点E，过点A作AD⊥EC交EC的延长线于点D，交⊙O于点F，连接BC，CF．

(1)求证：AC平分∠BAD；

(2)若AD＝6，∠BAF＝60°，求四边形ABCF的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）12

【解析】

（1）连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，则可判断∴OC∥AD得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠3；

（2）连接OF，如图，先证明△AOF、△OBC和△COF都为等边三角形，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=AD=2，DF=CD=2，所以CF=2DF=4，然后根据三角形面积公式计算S四边形ABCF．

（1）证明：连接OC，如图，

∵CE与⊙O切于点C，

∴OC⊥CD，

而AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴AC平分∠BAD；

（2）解：连接OF，如图，

∵∠BAF=60°，

∴△AOF为等边三角形，∠1=∠3=60°，

∴∠BOC=∠COF=60°，

∴△OBC和△COF都为等边三角形，

在Rt△ACD中，CD=AD=×6=2，

在Rt△CDF中，∠FCD=90°-∠OCF=30°，

∴DF=CD=2，

∴CF=2DF=4，

∴S四边形ABCF=3S△OAF=3××4×2=12．