【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CE与⊙O切于点C,交AB的延长线于点E,过点A作AD⊥EC交EC的延长线于点D,交⊙O于点F,连接BC,CF.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若AD=6,∠BAF=60°,求四边形ABCF的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)12
【解析】
(1)连接OC,如图,根据切线的性质得OC⊥CD,则可判断∴OC∥AD得到∠1=∠2,加上∠2=∠3,从而得到∠1=∠3;
(2)连接OF,如图,先证明△AOF、△OBC和△COF都为等边三角形,再利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=AD=2,DF=CD=2,所以CF=2DF=4,然后根据三角形面积公式计算S四边形ABCF.
(1)证明:连接OC,如图,
∵CE与⊙O切于点C,
∴OC⊥CD,
而AD⊥CD,
∴OC∥AD,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AC平分∠BAD;
(2)解:连接OF,如图,
∵∠BAF=60°,
∴△AOF为等边三角形,∠1=∠3=60°,
∴∠BOC=∠COF=60°,
∴△OBC和△COF都为等边三角形,
在Rt△ACD中,CD=AD=×6=2,
在Rt△CDF中,∠FCD=90°-∠OCF=30°,
∴DF=CD=2,
∴CF=2DF=4,
∴S四边形ABCF=3S△OAF=3××4×2=12.
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【题目】折纸飞机是我们儿时快乐的回忆,现有一张长为290mm,宽为200mm的白纸,如图所示,以下面几个步骤折出纸飞机:(说明:第一步:白纸沿着EF折叠,AB边的对应边A′B′与边CD平行,将它们的距离记为x;第二步:将EM,MF分别沿着MH,MG折叠,使EM与MF重合,从而获得边HG与A′B′的距离也为x),则PD=______mm.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画半圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2,由弦P1O2和围成的弓形面积记为S1,以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3,由弦P2O3和围成的弓形面积记为S2,以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4,由弦P3O4和围成的弓形面积记为S3;…按此做法进行下去,其中S2018的面积为__________.
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【题目】为推进郴州市创建国家森林城市工作,尽快实现“让森林走进城市,让城市拥抱森林”的构想,今年三月份,某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1000棵,其中甲种树苗每棵40元,乙种树苗每棵50元,据相关资料表明:甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和90%.
(1)若购买甲、乙两种树苗共用去了46500元,则购买甲、乙两种树苗各多少棵?
(2)若要使这批树苗的成活率不低于88%,则至多可购买甲种树苗多少棵?
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【题目】在一次数学课上,张老师出示了一个题目:“如图,ABCD的对角线相交于点O,过点O作EF垂直于BD交AB,CD分别于点F,E,连接DF,请根据上述条件,写出一个正确结论”其中四位同学写出的结论如下:
小青:;小何:四边形DFBE是正方形;
小夏:;小雨:.
这四位同学写出的结论中不正确的是
A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨
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【题目】如图所示,已知△ABC与△DEF均为等边三角形,且AB=2,DB=1,现△ABC静止不动,△DEF沿着直线EC以每秒1个单位的速度向右移动设△DEF移动的时间为x,△DEF与△ABC重合的面积为y,则能大致反映y与x函数关系的图象是( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BF为斜边上的高,在射线AB上有点D,连接DF,作∠DFE=90°,FE交射线BC于点E.
(问题发现)如图1所示,如果AB=CB,则DF与EF的数量关系为DF EF(选填>,<,=)
(类比探究)如图2所示,如果改变Rt△ABC中两直角边的比例,使得AB=2BC,则DF与EF还存在①中的关系吗?
(拓展延伸)如图3所示,在Rt△ABC中,如果已知BC=,AB=3,EF=,试求BD的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是弧AB的中点,弦CD与AB相交于E.
(1)若∠AOD=45°,求证:CE=ED;(2)若AE=EO,求tan∠AOD的值.
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【题目】已知某景区门票价格为80元/人,景区为吸引游客,对门票价格进行动态管理,非节假日打a折(如打2折,即是按原价的20%出售),节假日期间,10人以下(包括10人)不打折,10人以上超过10人的部分打b折,设游客为x人,门票费用为y元,非节假日门票费用y1(元)及节假日门票费用y2(元)与游客x(人)之间的函数关系如图所示.
(1)a= ,b= ;
(2)直接写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(3)一公司准备安排公司50名职工在“五一”假期时到此景区春游,而公司接到任务有一部分职工在“五一”当天需要加班,只能安排他们延期(非节假日)游玩,公司根据安排,春游期间除去其他费用,能提供的门票费用不超过3040元,那么公司至少安排多少人提前(五一期间)春游?
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