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【题目】某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).
(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的 ,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.

【答案】
(1)解:设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,

由题意得,

解不等式①得,x≥11,

解不等式②得,x≤15,

所以,不等式组的解集是11≤x≤15,

∵x为正整数,

∴x可取的值为11、12、13、14、15,

所以,该商家共有5种进货方案


(2)解:设总利润为W元,空调的采购数量为x台,

y2=﹣10x2+1300=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100,

则W=(1760﹣y1)x1+(1700﹣y2)x2

=1760x﹣(﹣20x+1500)x+(1700﹣10x﹣1100)(20﹣x),

=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000,

=30x2﹣540x+12000,

=30(x﹣9)2+9570,

当x>9时,W随x的增大而增大,

∵11≤x≤15,

∴当x=15时,W最大值=30(15﹣9)2+9570=10650(元),

答:采购空调15台时,获得总利润最大,最大利润值为10650元


【解析】(1)设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,然后根据数量和单价列出不等式组,求解得到x的取值范围,再根据空调台数是正整数确定进货方案;(2)设总利润为W元,根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式,然后根据二次函数的增减性求出最大值即可.
【考点精析】关于本题考查的一元一次不等式组的应用,需要了解1、审:分析题意,找出不等关系;2、设:设未知数;3、列:列出不等式组;4、解:解不等式组;5、检验:从不等式组的解集中找出符合题意的答案;6、答:写出问题答案才能得出正确答案.

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