Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，反比例函数y=在第一象限的图象经过点D．
（1）求D点的坐标，以及反比例函数的解析式；
（2）若K是双曲线上第一象限内的任意点，连接AK、BK，设四边形AOBK的面积为S；试推断当S达到最大值或最小值时，相应的K点横坐标；并直接写出S的取值范围．
（3）试探究：将正方形ABCD沿左右（或上下）一次平移若干个单位后，点C的对应点恰好落在双曲线上的方法．

Answer 1

【答案】分析：（1）过D作DM⊥OA于M点，根据题中条件先求出AM和DM的值，继而求出点D的坐标，继而代入反比例函数即可；
（2）将四边形AOBK的面积表示出来为：S_{四边形AOBK}=S_△BOA+S_△BKA且S_△BOA=1，又S_△BKA=0.5××KH，其大小与KH有关，继而通过求HK的最大最小值，来判断S的取值范围；
（3）先求出点C的坐标，继而求出相同横纵坐标时，反比例函数上的值，即可得出平移规律．
解答：解：（1）过D作DM⊥OA于M点，

由题意得，AB=AD，∠AOB=∠AMD，
又∵∠DAM+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
可证得：RT△BAO≌RT△ADM，（1分）
∵A（1，0），B（0，2），
∴DM=OA=1，AM=OB=2，
则：OM=3，D（3，1），（1分）
反比例函数解析式为：y=                     （1分）
（2）过K分别作KH⊥BA于H，直线l∥AB，
∵S_{四边形AOBK}=S_△BOA+S_△BKA且S_△BOA=1，又S_△BKA=0.5××KH，
设直线l为：y=-2x+b 且b＞2，
∴S_{四边形AOBK}的大小与线段HK的大小有关，（1分）
要使HK最小，则直线l与双曲线y=在第一象限只有唯一交点K，
故：方程-2x+b=有唯一实根，
∴2x²-bx+3=0中△=b²-24=0，
又∵b＞2，则：b=2，
∴S_△BKA最小时K的坐标为（，），
（横坐标计算正确即可得3分）
且直线KH为：y=x+，故又得：当HK最小时，H的横坐标为：-，
∴HK最小值为|-（-）|×=（-1），
即S_△BKA的最小值为-1；
而可知：HK无最大值；
∴S无最大值，且当K的横坐标为时，S达到最小值，
所以，S的取值范围为：S≥．（不考虑过程，S范围直接给定正确得2分）
（3）过C作CN⊥BO于N，
可得：CN=BO=2，BN=OA=1，
∴C（2，3），（1分）
又∵函数y=中，当x=2时，y=1.5；当y=3时，x=1；                          （1分）
∴把正方形ABCD向左平移1个单位或向下平移1.5个单位，
能使点C恰好移动到双曲线y=上．                                        （1分）
点评：此题是一道反比例函数的综合题，涉及到函数图象交点坐标的求法、用待定系数法确定函数解析式、图形面积的求法以及平移的相关知识，注意这些知识的熟练掌握及灵活运用，难度较大．