Question

如果方程x²-2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：若一元二次方程有两根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．再根据根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定m的取值范围，最后综合所有情况得出结论．

解答：解：∵方程x²-2x+m=0的两实根为a，b，
∴有△=4-4m≥0，
解得：m≤1，
由根与系数的关系知：a+b=2，a•b=m，
若a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，
则必有a+b＞1与|a-b|＜1同时成立，
故只需（a-b）²＜1即可，
化简得：（a+b）²-4ab＜1，
把a+b=2，a•b=m代入得：4-4m＜1，
解得：m＞

3

4

，
∴

3

4

＜m≤1，
故本题答案为：

3

4

＜m≤1．

点评：主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三角形中三边的关系．