Question

20．在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A、D、C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．
（1）如图，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED．
（2）作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由PQ与AB垂直，得到一对直角相等，理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余，再BD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由对顶角相等，利用等量代换即可得证；
（2）分两种情况，当P在线段AC上时，如图1所示，可得出PF与BD平行，由第一问的结论利用等角对等边得到PD=PE，利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；当P在AC延长线时，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三线合一即可得证．

解答 解：（1）∵PQ⊥AB，
∴∠EQB=∠C=90°，
∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠EBQ，
∵∠PED=∠BEQ，
∴∠PDE=∠PED；
（2）当P在线段AC上时，如图1所示，此时PF∥BD，

理由为：∵∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∵PF为∠CPQ的平分线，∠CPQ为△PDE的外角，
∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，
∴PF∥BD；
当P在线段AC延长线上时，如图2所示，PF⊥BD，
理由为：∵∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∵PM为∠CPQ的平分线，
∴PF⊥BD．

点评 此题考查了平行线的判定，以及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．