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【题目】 (2016柳州)如图1,抛物线的顶点坐标为(0,﹣1),且经过点A(﹣2,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若将抛物线中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变,就得到了函数图象上的任意一点,直线l是经过(0,1)且平行与x轴的直线,过点P作直线l的垂线,垂足为D,猜想并探究:PO与PD的差是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.

(注:在解题过程中,如果你觉得有困难,可以阅读下面的材料)

附阅读材料:

1在平面直角坐标系中,若A、B两点的坐标分别为A(),B(),则A,B两点间的距离为|AB|=,这个公式叫两点间距离公式.

例如:已知A,B两点的坐标分别为(﹣1,2),(2,﹣2),则A,B两点间的距离为|AB|==5.

2因式分解:

【答案】(1);(2)当x、﹣2x2或x时,PO与PD的差为定值.

【解析】

试题分析:(1)待定系数法求解可得;

(2)先根据题意表示出翻折后抛物线解析式,再求出y=1时x的值,继而可分﹣2x2、x﹣2或2<x、x或x三种情况,根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案.

试题解析:(1)根据题意设抛物线解析式为,将点A(﹣2,0)代入,得:4a﹣1=0,解得:a=抛物线的解析式为

(2)如图,根据题意,当﹣2x2时,

当x﹣2或x2时,

可得点M(,1)、点N(,1),①当﹣2x2时,设点P坐标为(a,),则PO﹣PD===1;

②当x﹣2或2<x时,设点P的坐标为(a,),则PO﹣PD===

③当x或x时,设点P的坐标为(a,),则PO﹣PD===3;

综上,当x、﹣2x2或x时,PO与PD的差为定值.

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