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    15．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．
    （Ⅰ）如图①，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在AB边上的D点，求E点的坐标；
    （Ⅱ）如图②，在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥OA交E′F于T点，交OC于G点，设T的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若OG=2$\sqrt{3}$，求△D′TF的面积．（直接写出结果即可）

    分析 （1）先根据折叠的性质得出DC=OC=10，在Rt△BCD中，运用矩形的性质及勾股定理得出BD=8，然后在Rt△AED中，由勾股定理得OE2=22+（6-OE）2，解方程求出OE的长，进而求出点E的坐标；
    （2）先由折叠的性质得出∠D′E′F=∠OE′F，由平行线的性质得出∠OE′F=∠D′TE′，则∠D′E′F=∠D′TE′，根据等角对等边得到D′T=D′E′=OE′，则TG=AE′；得出AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y，在Rt△AD′E′中，根据勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6-y）2，整理可求出y与x的函数关系式；根据AD的长求出x的最小值，当x取最大值时，E′F平分∠OAB，即E′与A重合，四边形AOFD′为正方形，求出此时x的值，有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围．
    （3）求出GT=y=2，得出AD'=OG=2$\sqrt{3}$，DT=4，作FM⊥AB于M，则FM=BC=6，证明△D'MF∽△EAD'，得出对应边成比例求出$\frac{D′F}{ED′}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，设E'O=ED'=x，则AE'=6-x，在Rt△AD'E'中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=4，得出OF=D'F=4$\sqrt{3}$，求出GF=OF-OG=2$\sqrt{3}$，即可求出△D′TF的面积．

    解答 解：（1）∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，
    ∴DC=OC=10．
    在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，
    ∴BD=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$=8．
    在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，
    ∴DE2=AD2+AE2，即OE2=22+（6-OE）2，
    解得 OE=$\frac{10}{3}$，
    ∴E点的坐标为（0，$\frac{10}{3}$）；

    （2）∵将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，
    ∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，
    ∵D′G∥AO，
    ∴∠OE′F=∠D′TE′，
    ∴∠D′E′F=∠D′TE′，
    ∴D′T=D′E′=OE′，
    ∴TG=AE′；
    ∵T（x，y），
    ∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y．
    在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，
    ∴AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6-y）2，
    整理，得y=-$\frac{1}{12}$x2+3；
    由（1）可得AD′=OG=2时，x最小，从而x≥2，
    当E′F恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，
    此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，即x最大为6，从而x≤6，
    故变量x的取值范围是2≤x≤6．

    （3）∵T的坐标为（x，y），y=-$\frac{1}{12}$x2+3，OG=2$\sqrt{3}$，
    ∴GT=y=-$\frac{1}{12}$×12+3=2，AD'=OG=2$\sqrt{3}$，
    ∴DT=6-2=4，
    作FM⊥AB于M，则FM=BC=6，∠FMD'=90°=∠A，
    ∴∠1+∠2=90°，
    由折叠的性质得：∠ED'F=∠AOC=90°，
    ∴∠1+∠3=90°，
    ∴∠2=∠3，
    ∴△D'MF∽△EAD'，
    ∴$\frac{D′F}{E′D′}$=$\frac{FM}{AD′}$，即$\frac{D′F}{ED′}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
    设E'O=ED'=x，则AE'=6-x，
    在Rt△AD'E'中，由勾股定理得：（2$\sqrt{3}$）2+（6-x）2=x2，
    解得：x=4，
    ∴OF=D'F=4$\sqrt{3}$，
    ∴GF=OF-OG=2$\sqrt{3}$，
    ∴△D′TF的面积=$\frac{1}{2}$D'T•GF=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

    点评 本题是四边形综合题目，考查了图形的翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，函数解析式的求法等知识，综合性较强，难度适中，主要运用数形结合的思想方法．

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     平时检测成绩 平时检测平均成绩 
     检测1检测2 检测3 检测4 检测5 
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    王强  7590  80 8595 85
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    A84432
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