Question

19．如图所示，在△ABC中，∠C=45°，BC=20，高AD=8．矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；
（2）求EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大，求其最大面积．

Answer 1

分析 （1）可以证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比相等即可证得；
（2）根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解．

解答 证明：（1）∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．
∴△AEF∽△ABC．
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$．

（2）由（1）得，$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$，
∵BC=20，AD=8，EF=x，
∴$\frac{AH}{8}$=$\frac{x}{20}$，
∴AH=$\frac{2}{5}$x．
∴EQ=HD=AD-AH=8-$\frac{2}{5}$x．
∴S_矩形EFPQ=EF×EQ=x（8-$\frac{2}{5}$x）=8x-$\frac{2}{5}$x²=-$\frac{2}{5}$（x²-20x）=-$\frac{2}{5}$（x²-20x+100-100）=-$\frac{2}{5}$（x-10）²+40，
∵a=-$\frac{2}{5}$＜0，
∴当x=10时，y的最大值为40．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．