Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由待定系数法将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三个点的坐标代入y=ax²+bx+c，联立求解即可；
（2）过M作x轴的垂线，设垂足为D．设点M的坐标为（m，n），即可用含m的代数式表示MD、OD的长，分别求出△AMD、梯形MDOB、△AOB的面积，那么△AMD、梯形MDOB的面积和减去△AOB的面积即为△AMB的面积，由此可得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可求得S的最大值．
（3）解决此题需要充分利用平行四边形的性质求解．设P（x，x²+x-4），
①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，则Q（x，-x）．由PQ=OB即可求出结论；
②如图2，当OB为对角线时，那么P、Q的横坐标互为相反数（若P的横坐标为x，则Q的横坐标为-x），即Q（-x，x）．由P、O的纵坐标差的绝对值等于Q、B纵坐标差的绝对值，得x²+x-4=-4-x，求出x的值即可．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），
把B（0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+4）（x-2），即y=x²+x-4；

（2）过点M作MD⊥x轴于点D，设M点的坐标为（m，n），
则AD=m+4，MD=-n，n=m²+m-4，
∴S=S_△AMD+S_梯形DMBO-S_△ABO
=
=-2n-2m-8
=-2×（m²+m-4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4（-4＜m＜0）；
∴S_最大值=4．

（3）设P（x，x²+x-4）．
①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y=-x，
则Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（x²+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；

②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用以及平行四边形的判定和性质；此题的难点在于（3）题，需要熟练掌握平行四边形的性质，并且要考虑到各种情况才能做到不漏解．