Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OB=2，OC=8，抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF∥AC交于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得A和B的坐标，然后代入函数解析式，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）易证△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质利用m表示出EF的长，过点F作FG⊥AB，垂足为G，利用三角函数即可利用m表示出FG的长，根据S=S_△BCE-S_△BFE求解；
（3）利用二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OB=2，OC=8，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）．
又∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6，0）．
∵点C（0，8）在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，
∴c=8，将A（-6，0）、B（2，0）分别
代入y=ax²+bx+c，得

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

a=- 2 3 b=- 8 3

∴所求抛物线的表达式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．
（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，由勾股定理得AC=10，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．
即

EF

10

=

8-m

8

．
∴EF=

40-5m

4

．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

．
∴

FG

EF

=

4

5

．
∴FG=

4

5

×

40-5m

4

=8-m．
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）=-

1

2

m²+4m．
自变量m的取值范围是0＜m＜8．
（3）存在．       
理由：∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8，且-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8．
此时，点E的坐标为（-2，0）．
则OE=OB，
又∵OC⊥BE．
∴EC=BC，
则△BCE是等腰三角形．

点评：本题是二次函数的待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，利用m表示出EF和FG的长是关键．