Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，AC∥x轴．

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)求tan∠ABC的值.

(3)若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)E(4，1)或E(﹣3，1)．

【解析】

(1)将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得a、c的值即可；

(2)过点B作BH⊥AC交AC延长线于点H，过点C作CG⊥AB于点G，先证明△ABH和△ACG均为等腰直角三角形，再求出CG和BG的长，然后依据锐角三角函数的定义求解即可；

(3)过点D作DK⊥AC，垂足为K，先证明△DCK为等腰直角三角形，则∠DCK＝∠BAC，当或时，△CDE与△ABC相似，然后可求得CE的长．

解：(1)∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(0，1)和点B(9，10)，

∴，解得．

∴这条抛物线的解析式为．

(2)过点B作BH⊥AC交AC延长线于点H，

∵AC∥x轴，A(0，1)，B(9，10)，∴H(9，1)，∴BH＝AH＝9．

又∵∠BHA＝90°，∴△HAB是等腰直角三角形，∴∠HAB＝45°．

∵AC∥x轴，A(0，1)，对称轴为直线，∴C(6，1).

过点C作CG⊥AB，垂足为点G，

∵∠GAC＝45°，∠AGC＝90°，∴，∴．

又∵在Rt△ABH中，，∴．

∴在Rt△BCG中，．

(3)如图2所示：过点D作DK⊥AC，垂足为K，

∵点D是抛物线的顶点，∴D(3，﹣2)．

∴K(3，1)，∴CK＝DK＝3．

又∵∠CKD＝90°，∴△CDK是等腰直角三角形，∴∠DCK＝45°

又∵∠BAC＝45°，

∴∠DCK＝∠BAC．

∴要使△CDE与△ABC相似，则点E在点C的左侧．

当时，则，∴EC＝2，∴E(4，1)；

当时，则，∴EC＝9，∴E(﹣3，1)．

综上所述，当△CDE与△ABC相似时，点E的坐标为(4，1)或(﹣3，1)．