Question

17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足若$\frac{CF}{DF}$=$\frac{1}{3}$，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠E的值．

Answer 1

分析 （1）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DG=CG，由垂径定理可知：$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，从而可知∠ADF=∠AED，从而可证明△ADF∽△AED．
（2）由于$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，所以CF=2，FD=6，从而CD=DF+CF=8，由垂径定理可知CD=DG=4，从而求出FG的长度；
（3）由于AF=3，FG=2，由勾股定理可知：AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，从而可知tan∠E=tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DG=CG，
∴由垂径定理可知：$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
（2）∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴由垂径定理可知：CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
③∵AF=3，FG=2，
在△AFG中，
∴由勾股定理可知：AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
tan∠E=tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判定，垂径定理，勾股定理等知识，属于中等题型．