Question

20．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{2}$，∠B=45°，等腰直角三角板MEN的锐角顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于$\frac{5}{2}$或4$\sqrt{2}$-3或2．

Answer 1

分析 过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质求出BM的长度，再求出AB，然后分①AE=BE时，△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，求出BE的长，再求出CE的长，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可；②AB=BE时，先求出CE的长度，再求出∠AEB的度数，再根据平角等于180°求出∠CEF，然后求出∠CFE，根据度数得到∠CEF=∠CFE，根据等角对等边的性质可得CF=CE；③AB=AE时，判断出△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可．

解答 解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，

∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4$\sqrt{2}$，
∴BM=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，∠C=∠B=45°，
∵∠B=45°，
∴AB=BM×$\sqrt{2}$=3，
①如图1，AE=BE时，∵∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
∴CE=BC-BE=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
又∵∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-90°-45°=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\frac{5}{2}$；
②如图2，AB=BE时，∵∠B=45°，
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠C-∠CEF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∵BC=4$\sqrt{2}$，AB=3，
∴CF=CE=BC-BE=4$\sqrt{2}$-3；
③如图3，AB=AE时，∠AEB=∠B=45°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-45°-45°=90°，
∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
CE=BC-BE=4$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2；
综上所述，CF的长为$\frac{5}{2}$或4$\sqrt{2}$-3或2．
故答案为：$\frac{5}{2}$或4$\sqrt{2}$-3或2．

点评 本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于根据腰长的不同，分情况讨论．