Question

如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一点．
（1）当点P在劣弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请证明你的结论；
（2）当点P在优弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请证明你的结论（不要求讨论P点与A点重合的情形）

Answer 1

分析：由垂径定理知：弧AC=弧AD；当P在劣弧CD上时，∠APC和∠APD所对的是等弧，因此它们相等；
当P在优弧CD上时，它们所对的弧正好构成整个圆周，即两段弧所对圆心角的度数和为360°，根据圆周角定理即可得出∠APD+∠APC=180°．

解答：解：∵弦CD⊥AB，AB是直径，
∴弧AC=弧AD；（2分）
∴∠APC=∠APD，（3分）
（2）∠APC+∠APD=180°，
由垂径定理可知

AC

=

AD

，
∴∠APD=∠ADC，
由圆内接四边形的性质可知∠APC+∠ADC=180°，
∴∠APC+∠APD=180°（如图中虚线所示）．

点评：此题主要考查的是垂径定理、圆周角定理及圆心角、弧的关系．