Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）图中相似三角形共有

 

对；
（2）证明：AM²=MN•MP；
（3）若AD=6，DC﹕CP=2﹕1，求BN的长．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的判定定理来做：△ADB∽△CBD、△ABN∽△PCN、△ADM∽△NBM、△AMB∽△PMD、△APD∽△ABN；
（2）由四边形ABCD是平行四边形的性质来证明△ADM∽△NBM、△PDM∽△ABM；再由相似三角形的对应边成比例的性质知：

AM

MN

=

DM

BM

、

PM

AM

=

DM

BM

，所以AM²=MN•MP．
（3）由四边形ABCD是平行四边形的性质来证明△PCN∽△PDA；再由相似三角形的对应边成比例的性质知：

PC

PD

=

NC

AD

；最后根据已知条件求解即可．

解答：（1）解：6；（1分）
有△AMB∽△PMD，△ADM∽△NBM，△ABN∽△PCN∽△PDA，△ABD≌△CDB，
∴共6对；

（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠NBM，∠DAM=∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，（3分）
∴

AM

MN

=

DM

BM

；
∵AB∥DC，
∴∠P=∠BAM，∠MDP=∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，（5分）
∴

PM

AM

=

DM

BM

，
∴

AM

MN

=

PM

AM

，
∴AM²=MN•MP；（6分）

（3）解：∵AD∥BC，
∴∠PCN=∠PDA，∠P=∠P，
∴△PCN∽△PDA，（7分）
∴

PC

PD

=

NC

AD

，（8分）
∵DC：CP=2：1，
∴

PC

PD

=

NC

AD

=

1

3

；（9分）
又∵AD=6
∴NC=2，BN=4．（10分）

点评：本题主要考查的是平行四边形的性质：对边平行且相等和内错角相等；相似三角形的判定与性质．