Question

（2013•汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4

3

．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=

15

度；
（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．

Answer 1

分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；
（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；
（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：
（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；
（II）当2＜x≤6-2

3

时，如答图2所示；
（III）当6-2

3

＜x≤6时，如答图3所示．

解答：解：（1）如题图2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4

3

，
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

3

，∴∠DFE=60°，
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；

（2）如题图3所示，当EF经过点C时，
FC=

AC

sin∠AFC

=

6

sin60°

=

6

3 2

=4

3

；

（3）在三角板DEF运动过程中，
（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：

设DE交BC于点G．
过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF=

MN

tan60°

=

3

3

MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即

3

3

MN+x=MN，解得：MN=

3+ 3

2

x．
y=S_△BDG-S_△BFM
=

1

2

BD•DG-

1

2

BF•MN
=

1

2

（x+4）²-

1

2

x•

3+ 3

2

x
=-

3 +1

4

x²+4x+8；
（II）当2＜x≤6-2

3

时，如答图2所示：

过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF=

MN

tan60°

=

3

3

MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即

3

3

MN+x=MN，解得：MN=

3+ 3

2

x．
y=S_△ABC-S_△BFM
=

1

2

AB•AC-

1

2

BF•MN
=

1

2

×6²-

1

2

x•

3+ 3

2

x
=-

3+ 3

4

x²+18；
（III）当6-2

3

＜x≤6时，如答图3所示：

由BF=x，则AF=AB-BF=6-x，
设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=

3

（6-x）．
y=S_△AFM=

1

2

AF•AM=

1

2

（6-x）•

3

（6-x）=

3

2

x²-6

3

x+18

3

．
综上所述，y与x的函数解析式为：
y=

- 3 +1 4 x2+4x+8(0≤x≤2) - 3+ 3 4 x2+18(2＜x≤6-2 3 ) 3 2 x2-6 3 x+18 3 (6-2 3 ＜x≤6)

．

点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．