Question

已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-=0 ①．
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
（2）如果a是关于y的方程y²-+（x₁-k）（x₂-k）+=0 ②的根，其中x₁、x₂为方程①的两个实数根，且x₁＜x₂，求代数式的值．

Answer 1

（1）证明：∵△=[-2（k+1）]²-4×（k²+2k-），
=4k²+8k+4-4k²-8k+5，
=9＞0，
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁＜x₂，
∴x₁==k-，
∴x₁-k-=k--k-=-1，
又∵x₁+x₂=-=2（k+1），x₁•x₂==k²+2k-，
∴（x₁-k）（x₂-k）+，
=x₁•x₂-k（x₁+x₂）+k²+，
=k²+2k--2k（k+1）+，
=k²+2k--2k²-2k+k²+，
=-1，
∴关于y的方程为y²+y-1=0，
∵a是方程的解，
∴a²+a-1=0，
∴1-a²=a，
=××（a²-1）=××（a²-1）=-a，
根据求根公式可得a==，
∴-a=-×=，
故代数式的值为或．
分析：（1）求出根的判别式△=9，然后根据△的情况即可进行证明；
（2）求出x₁的值，并根据根与系数的关系求出（x₁-k）（x₂-k）的值，然后对关于y的方程整理成一般形式，从而得到关于a的一元二次方程，再把代数式化简，然后即可求解．
点评：本题考查了根的判别式，△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，△＜0时，一元二次方程没有实数根，（2）中把关于y的一元二次方程消去k与x₁、x₂，整理成只含有字母y的方程是解题的关键，本题难度较大，计算比较复杂．