Question

7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A与BD上一点F关于直线DE轴对称，DE与AC交于点G，则下列结论：
①∠AGD=112.5°；
②与DF相等的线段（不包括DF）有5条；
③四边形AEFG是轴对称图形，而不是中心对称图形；
④S_△DEF=2S_{四边形OGEF}，
其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据折叠的性质我们能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；①正确，
先判断出∠CDG=∠CGD，得出CG=CD，再结合正方形的性质，得出DF=AB=BC=CD=AD=CG，②正确，
根据同位角相等得到EF∥AC，GF∥AB，由折叠的性质得出AE=EF，即可判定四边形AEFG是菱形；③正确，
利用平行线性质得∠6=∠7=45°，则可判断△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，得到BE=$\sqrt{2}$EF，GF=$\sqrt{2}$OF，所以BE=2OF；设OF=a，则GF=$\sqrt{2}$a，BF=$\sqrt{2}$a，可计算出OB=（$\sqrt{2}$+1）a，则OD=（$\sqrt{2}$+1）a，DF=DO+OF=（2+$\sqrt{2}$）a，再证明△DOG∽△DFE，利用相似三角形的性质可计算出$\frac{{S}_{△DOG}}{{S}_{△DFE}}=（\frac{DO}{DF}）^{2}=\frac{1}{2}$，则S_△DOG：S_{四边形OGEF}=1：1

解答 解：在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合；
∴∠GAD=45°，∠ADG=$\frac{1}{2}$∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=112.5°，所以①正确，
∴∠CGD=180°-∠AGD=67.5°，
∵∠ACD=45°，
∴∠CDG=67.5°=∠CGD，
∴CG=CD，
由折叠得，DF=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，
∴DF=AB=BC=CD=AD=CG，
∴与DF相等的线段（不包括DF）有5条；所以②正确；
根据题意可得：AE=EF，AG=FG，
∵∠BAC=∠CEF=45°，
∴EF∥AC，
∵∠DAC=∠OFG=45°=∠ABD，
∴GF∥AB，
∴四边形AEFG是菱形，
∴四边形AEFG是轴对称图形，也是中心对称图形；
所以③错误．
∴四边形AEFG为菱形；
∴GF∥AB，EF=GF，
∴∠OFG=∠ABO=45°，
∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$EF，GF=$\sqrt{2}$OF，
∴BE=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$OF=2OF；
设OF=a，则GF=$\sqrt{2}$a，BF=$\sqrt{2}$a，
∴OB=（$\sqrt{2}$+1）a，
∴OD=（$\sqrt{2}$+1）a，DF=DO+OF=（2+$\sqrt{2}$）a，
∵∠DOG=∠DFE=90°，
∴△DOG∽△DFE，
∴$\frac{{S}_{△DOG}}{{S}_{△DFE}}=（\frac{DO}{DF}）^{2}=\frac{1}{2}$，
∵S_△DEF=S_△DOG+S_{四边形OGEF}，
∴S_△DOG：S_{四边形OGEF}=1：1．
∴S_△DEF=2S_{四边形OGEF}，
∴所以④正确．
∴正确的有①②④，
故选B

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．