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    （附加题）工人师傅有两块板材边角料，其中一块是边长60cm的正方形板材；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板材（如下图①）．工人师傅想将这两块板材裁成两块全等的矩形板材，他将两块板材叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板材的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．
    （1）利用图②，求FC的长；
    （2）如图③，若矩形的一个顶点P在线段EF上，P点到BG的距离为PN，试证明：
    PN
    NG
    =
    2
    3
    ；
    （3）利用图③，求顶点B所对的顶点P到BC的距离PN为多少时，矩形PMBN的面积最大？最大面积是多少？
    分析：（1）先求出ED、CG的长度，然后根据相似三角形对应边成比例求出DF与FC的比，再根据CD=60cm即可求解；
    （2）先求出CG的长度，然后根据相似三角形对应边成比例可得
    PN
    NG
    =
    FC
    CG
    ，然后代入数据计算即可得证；
    （3）设BN为x，则NG=120-x，根据（2）的结论表示出PN的长度，然后利用矩形的面积公式列式，再根据二次函数的最值问题解答．
    解答：（1）解：根据题意，ED=60-30=30cm，CG=120-60=60cm，
    ∵正方形的对边平行，
    ∴AD∥BG，
    ∴
    DF
    FC
    =
    ED
    CG
    ，
    即
    DF
    FC
    =
    30
    60
    =
    1
    2
    ，
    又∵CD=60cm，
    ∴FC=
    2
    1+2
    ×60=40cm；

    （2）证明：∵P点到BG的距离为PN，
    ∴PN⊥BC，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴DC⊥BC，
    ∴△GCF∽△GPN，
    ∴
    PN
    NG
    =
    FC
    CG
    ，
    即
    PN
    NG
    =
    40
    60
    =
    2
    3
    ；

    （3）解：设BN为x，则NG=120-x，
    根据（2）可得，PN=
    2
    3
    NG=
    2
    3
    （120-x），
    ∴矩形PMBN的面积=BN•PN=x•
    2
    3
    （120-x）=-
    2
    3
    （x2-120x）=-
    2
    3
    （x-60）2+2400，
    ∴当x=60时，矩形PMBN的面积最大，
    此时PN=
    2
    3
    （120-x）=
    2
    3
    （120-60）=40cm，
    最大面积值是2400cm2．
    点评：本题考查了直角梯形，正方形的性质，相似三角形的对应边成比例，二次函数的最值问题，综合性较强，但难度不是很大．
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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年深圳市福田区翰林学校九年级（上）期中数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （附加题）工人师傅有两块板材边角料，其中一块是边长60cm的正方形板材；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板材（如下图①）．工人师傅想将这两块板材裁成两块全等的矩形板材，他将两块板材叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板材的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．
    （1）利用图②，求FC的长；
    （2）如图③，若矩形的一个顶点P在线段EF上，P点到BG的距离为PN，试证明：；
    （3）利用图③，求顶点B所对的顶点P到BC的距离PN为多少时，矩形PMBN的面积最大？最大面积是多少？

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