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    （2013•义乌市）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（
    		2
    ，0），E（2
    		2
    ，0），F（
    3
    		2
    2
    ，-
    		2
    2
    ）．
    （1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45°得到△A1B1C1．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系；
    （2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2
    		2
    x2+bx+c上，请你求出符合条件的抛物线解析式；
    （3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．
    分析：（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解；
    （2）首先明确△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解；
    （3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解．
    解答：解：（1）A1（2-
    		2
    2
    ，1+
    		2
    2
    ），B1（2+
    		2
    2
    ，1+
    		2
    2
    ）．
    A1C和DF的位置关系是平行．

    （2）∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，
    ∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：
    2
    		2
    ×(
    		2
    )2+
    		2
    b+c=0
    2
    		2
    ×(2
    		2
    )2+2
    		2
    b+c=0
    ，
    解得
    b=-12
    c=8
    		2

    ∴y=2
    		2
    x2-12x+8
    		2
    ；
    ②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：
    2
    		2
    ×(
    		2
    )    2    +
    		2
    b+c=0
    2
    		2
    ×(
    3
    		2
    2
    )    2    +
    3
    		2
    2
    b+c=-
    		2
    2
    ，
    解得
    b=-11
    c=7
    		2

    ∴y=2
    		2
    x2-11x+7
    		2
    ；
    ③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：
    2
    		2
    ×(2
    		2
    )    2    +2
    		2
    b+c=0
    2
    		2
    ×(
    3
    		2
    2
    )    2    +
    3
    		2
    2
    b+c=-
    		2
    2
    ，
    解得
    b=-13
    c=10
    		2

    ∴y=2
    		2
    x2-13x+10
    		2
    ．

    （3）在旋转过程中，可能有以下情形：

    ①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示：
    易求得点P坐标为（0，
    1-
    		2
    2
    ）；
    ②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示：
    设点B′，C′的横坐标分别为x1，x2．
    易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b，
    联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即x2-x-b=0，
    ∴x1+x2=1，x1x2=-b．
    ∵B′C′=1，∴根据题意易得：|x1-x2|=
    		2
    2
    ，
    ∴（x1-x2）2=
    1
    2
    ，即（x1+x2）2-4x1x2=
    1
    2

    ∴1+4b=
    1
    2
    ，解得b=-
    1
    8
    ．
    ∴x2-x+
    1
    8
    =0，解得x=
    2+
    		2
    4
    或x=
    2-
    		2
    4
    ．
    ∵点C′的横坐标较小，∴x=
    2-
    		2
    4
    ．
    当x=
    2-
    		2
    4
    时，y=x2=
    3-2
    		2
    8
    ，
    ∴P（
    2-
    		2
    4
    ，
    3-2
    		2
    8
    ）；
    ③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示：
    设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2．
    易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y=-x+b，
    联立y=x2与y=-x+b得：x2=-x+b，即x2+x-b=0，
    ∴x1+x2=-1，x1x2=-b．
    ∵C′A′=1，∴根据题意易得：|x1-x2|=
    		2
    2
    ，
    ∴（x1-x2）2=
    1
    2
    ，即（x1+x2）2-4x1x2=
    1
    2

    ∴1+4b=
    1
    2
    ，解得b=-
    1
    8
    ．
    ∴x2+x+
    1
    8
    =0，解得x=
    		2
    -2
    4
    或x=
    -
    		2
    -2
    4
    ．
    ∵点C′的横坐标较大，∴x=
    		2
    -2
    4
    ．
    当x=
    		2
    -2
    4
    时，y=x2=
    3-2
    		2
    8
    ，
    ∴P（
    		2
    -2
    4
    ，
    3-2
    		2
    8
    ）；

    ④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上．
    因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在；
    ⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示：
    与③同理，可求得：P（
    		2
    -2
    4
    ，
    3-2
    		2
    8
    ）；
    ⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示：
    与②同理，可求得：P（
    2+
    		2
    4
    ，
    3+2
    		2
    8
    ）．
    综上所述，点P的坐标为：（0，
    1-
    		2
    2
    ），（
    2-
    		2
    4
    ，
    3-2
    		2
    8
    ），（
    		2
    -2
    4
    ，
    3-2
    		2
    8
    ），（
    2+
    		2
    4
    ，
    3+2
    		2
    8
    ）．
    点评：本题考查了旋转变换与二次函数的综合题型，难度较大．第（3）问是本题难点所在，解题关键是：第一，旋转方向有两种可能，落在抛物线上的点有三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论；第二，针对每一种可能的情形，按照旋转方向与旋转角度，确定图形形状并进行计算．
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    11
    9
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    -1
    -1
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