Question

8．如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于F．
（1）求证：BE=EF．
（2）求tan∠EAF的值．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得BE=EF；
（2）根据勾股定理，计算正方形的对角线的长，减去AF的长求得CF的长，最后计算tan∠EAF的值．

解答 证明：（1）∵在正方形ABCD中，EF⊥AC，AB⊥BC，
∴∠AFE=∠ABE=90°；  
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE；　 
又∵AE=AE，
∴Rt△BAE≌Rt△FAE，
故AB=AF，BE=FE．

（2）∵正方形ABCD，
∴在Rt△CEF中，∠ECF=45°，
故FE=CF，
∴BE=CF，
∵正方形ABCD的边长为1 cm，对角线AC=$\sqrt{2}$cm，
由（1）可得，BE=EF=CF=AC-AF=AC-AB=$\sqrt{2}$-1（cm），
∴$tan∠EAF=tan∠BAE=\sqrt{2}-1$．

点评 本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，掌握正方形的四边相等、对角线平分每一对对角是解题的关键．