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    3．如图，正方形ABCD中，AB=a（单位：cm），点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E从点A出发，以$\sqrt{2}$cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；下列判断正确的是（　　）
    ①当M不动，E运动时，DF=MN；
    ②当M，E同时出发时，且AF=BF时，点M是边CD的三等分点；
    ③当M，E同时出发时，且$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{m}$，则$\frac{CM}{CD}$=$\frac{1}{m+1}$；
    ④当M，E同时出发后，t=a或t=$\frac{1}{2}$a时，△MNF为等腰三角形．
    A．①②④B．①③C．①②③D．①②③④

    分析 ①证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
    ②首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=$\frac{1}{3}$a，进而得到CM=$\frac{1}{3}$a=$\frac{1}{3}$CD；
    ③由△AFE∽△CDE，列比例式$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{m}$，得到a=mt+t，代入$\frac{CM}{CD}=\frac{t}{a}=\frac{t}{mt+t}=\frac{1}{m+1}$．
    ④若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．

    解答 解：①当M不动，E运动时，M与C重合，如图1，
    ∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
    ∴∠ADF=∠DCN，
    在△ADF与△DNC中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CDN=90°}\\{AD=CD}\\{∠ADF=∠DCN}\end{array}\right.$，
    ∴△ADF≌△DNC（ASA），
    ∴DF=MN；
    故选项①正确；
    ②如图2，当点F是边AB中点时，则AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD
    ∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
    ∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴AE=$\frac{1}{2}$EC，则AE=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
    ∴t=$\frac{AE}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$a．
    则CM=1•t=$\frac{1}{3}$a=$\frac{1}{3}$CD，
    ∴点M为边CD的三等分点．
    故选项②正确；
    ③∵△AFE∽△CDE
    ∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{m}$，
    ∴$\frac{\sqrt{2}t}{\sqrt{2}a-\sqrt{2}t}=\frac{1}{m}$
    解得：a=mt+t，
    ∴$\frac{CM}{CD}=\frac{t}{a}=\frac{t}{mt+t}=\frac{1}{m+1}$
    故选项③正确；
    ④∵△AFE∽△CDE，
    ∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{EC}$，即$\frac{AF}{a}=\frac{\sqrt{2}t}{\sqrt{2}a-\sqrt{2}t}$，得AF=$\frac{at}{a-t}$．
    易证△MND∽△DFA，
    ∴$\frac{ND}{AF}=\frac{DM}{AD}$，即$\frac{ND}{\frac{at}{a-t}}=\frac{a-t}{a}$，得ND=t．
    ∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．
    若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：
    （I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，
    ∴AF=ND，即 AF=$\frac{at}{a-t}$=t，得t=0，不合题意．
    ∴此种情形不存在；
    （II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，
    ∴t=$\frac{1}{2}$a，此时点F与点B重合；
    （III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如图③所示：
    ∵AN=DM，AD=CD，
    ∴ND=CM，
    ∵$\left\{\begin{array}{l}{ND=CM}\\{FM=MN}\end{array}\right.$，
    ∴△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；
    又由△NDM∽△DCF，
    ∴$\frac{DN}{DM}=\frac{DC}{FC}$，即 $\frac{t}{a-t}=\frac{a}{FC}$，∴FC=$\frac{a（a-t）}{t}$．

    ∴$\frac{a（a-t）}{t}$=a-t，
    ∴t=a，此时点F与点C重合．
    综上所述，当t=a或t=$\frac{1}{2}$a时，△MNF能够成为等腰三角形
    故选项④正确；
    所以①②③④都正确．
    故选：D．

    点评 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．

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