Question

4．如果一个四位数的千位数字与十位数学相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“循环四位数”，如1212，5252，6767，…等都是“循环四位数”，如果将一个“循环四位数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“原循环四位数的对应数”，如果原循环四位数的百位数字是0，则忽略交换位置后首位的“0”，即它的对应数就是首位“0”忽略后的三位数，如1212的对应数为2121，5252的对应数为2525，1010的对应数为101．
（1）任意写一个“循环四位数”及它的“对应数”；猜想任意一个“循环四位数”与它的“对应数”的差是否都能被101整除？并说明理由；
（2）一个“循环四位数”的千位数字为x（1≤x≤9），百位数字为y（0≤y≤9，且y＜x），若这个循环四位数与它的对应数的差能被404整除，求y与x应满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意举例即可，设循环四位数的千位数字与十位数字为m，百位数字与个位数字为n，分别表示出循环四位数和其对应数，再作差化简即可得；
（2）由（1）知，这个循环四位数与它的对应数的差为101×9（x-y），根据题意知x-y=4或x-y=8，即可得答案．

解答 解：（1）循环四位数为3434，其对应数为4343，
设循环四位数的千位数字与十位数字为m，百位数字与个位数字为n，
则循环四位数为1000m+100n+10m+n，其对应数为1000n+100m+10n+m，
“循环四位数”与它的“对应数”的差为（1000m+100n+10m+n）-（1000n+100m+10n+m）=101×9（m-n），
∴任意一个“循环四位数”与它的“对应数”的差都能被101整除；

（2）由（1）知，这个循环四位数与它的对应数的差为101×9（x-y），
∵这个循环四位数与它的对应数的差能被404整除，
∴x-y=4或x-y=8，
即y=x-4或y=x-8．

点评 本题主要考查因式分解的应用和列代数式及整式的化简，理解题意表示出循环四位数和其对应数是解题的关键．