【题目】如图,直线y=x+3与两坐标轴交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点,且交x轴的正半轴于点C.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)B(0,3),A(﹣3,0);(2)抛物线解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;顶点D坐标为(﹣1,4);(3)存在,符合条件的点P的坐标为(﹣1,4)或(2,﹣5).
【解析】试题分析:(1)分别令x=0和y=0代入y=x+3中可得结论;
(2)利用待定系数法求二次函数的解析式,根据配方法可得顶点D的坐标;
(3)分两种情况:设点P的坐标为(t,﹣t2﹣2t+3).根据两点距离公式可得:AB2=32+32=18,AP2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,BP2=t2+(﹣t2﹣2t)2.
①如图1,如果点B为直角顶点,那么AB2+BP2=AP2;
②如图2,如果点A为直角顶点,那么AP2+AB2=BP2,列方程可得结论.
试题解析:解:(1)当x=0时,y=3,∴B(0,3),当y=0时,x+3=0,x=﹣3,∴A(﹣3,0);
(2)把A(﹣3,0),B(0,3)分别代入y=﹣x2+bx+c得:
,解得:
,∴抛物线解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;
顶点D坐标为(﹣1,4)
(3)存在.
设点P的坐标为(t,﹣t2﹣2t+3).
∵A(﹣3,0),B(0,3),∴AB2=32+32=18,AP2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,BP2=t2+(﹣t2﹣2t)2.
当△PAB是以AB为直角边的直角三角形时,可分两种情况:
①如图1,如果点B为直角顶点,那么AB2+BP2=AP2
(事实这里的点P与点D 重合)
即18+t2+(﹣t2﹣2t)2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,整理得t2+t=0,解得t1=﹣1,t2=0(不合题意舍去),则点P的坐标为(﹣1,4);
②如图2,如果点A为直角顶点,那么AP2+AB2=BP2,即18+(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2=t2+(﹣t2﹣2t)2,整理得t2+t﹣6=0,解得t1=2,t2=﹣3(不合题意舍去),则点P的坐标为(2,﹣5);
综上所述:所有符合条件的点P的坐标为(﹣1,4)或(2,﹣5).
另解:如图3,作DE⊥y轴于点E,发现∠ABO=∠DBE=45°>
可知顶点D满足△DAB是直角三角形,这时点P的坐标为(﹣1,4);
作PA⊥AB交抛物线于点P,作PF⊥x轴于点F,发现∠PAF=∠APF=45°,由PF=AF求出另一点P为(2,﹣5).
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【题目】为鼓励节约用水,某地推行阶梯式水价计费制,标准如下:每月用水不超过17立方米的按每立方米元计费,超过17立方米而未超过30立方米的部分按每立方米
元计费,超过30立方米的部分按每立方米
元计费,某户居民上月用水35立方米,应缴水费_________元.
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【题目】数学问题:计算等差数列5,2,﹣1,﹣4……前n项的和.
问题探究:为解决上面的问题,我们从最简单的问题进行探究.
探究一:首先我们来认识什么是等差数列.
数学上,称按一定顺序排列的一列数为数列,其中排在第一位的数称为第1项,用a1表示:排在第二位的数称为第2项,用a2表示……排在第n位的数称为第n项,用an表示.一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差,公差通常用字母d表示.如:数列2,4,6,8,….为等差数列,其中a1=2,公差d=2.
(1)已知等差数列5,2,﹣1,﹣4,…则这个数列的公差d= ,第5项是 .
(2)如果一个数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:
a2﹣a1=d,a3﹣a2=d,a4﹣a3=d,……an﹣an﹣1=d,所以a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a1+3d,……:由此可得an= (用a1和d的代数式表示)
(3)对于等差数列5,2,﹣1,﹣4,…,an= 请判断﹣2020是否是此等差数列的某一项,若是,请求出是第几项:若不是,说明理由.
探究二:二百多年前,数学王子高斯用他独特的方法快速计算出1+2+3+4+…+100的值.我们从这个算法中受到启发,用此方法计算数列1,2,3,…,n的前n项和:由 可知
(4)请你仿照上面的探究方式,解决下面的问题:
若a1,a2,a3,…,an为等差数列的前n项,前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an.证明:Sn=na1+.
(5)计算:计算等差数列5,2,﹣1,﹣4…前n项的和Sn(写出计算过程).
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【题目】某文具店老板第一次用1000元购进一批文具,很快销售完毕,第二次购进时发现每件文具的进价比第一次上涨了2.5元,老板用2500元购进了第二批文具,所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍,同样很快销售完毕,已知两批文具的售价均为每件15元.
(1)第二次购进了多少件文具?
(2)文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元?
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【题目】某商品的进货价为每件30元,为了合理定价,先投放市场试销.据市场调查,销售价为每件40元时,每周的销售量是180件,而销售价每上涨1元,则每周的销售量就会减少5件,设每件商品的销售价上涨x元,每周的销售利润为y元.
(1)用含x的代数式表示:每件商品的销售价为 元,每件商品的利润为 元,每周的商品销售量为 件;
(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)应怎样确定销售价,使该商品的每周销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,∠AOB=∠DOC=90°,OE平分∠AOD,反向延长射线OE至F.
(1)∠AOD和∠BOC是否互补?说明理由;
(2)射线OF是∠BOC的平分线吗?说明理由;
(3)反向延长射线OA至点G,射线OG将∠COF分成了4:3的两个角,求∠AOD.
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【题目】某学校准备印刷一批证书,现有两个印刷厂可供选择:甲厂收费方式:收制版费1000元,每本印刷费0.5元;乙厂收费方式:不收制版费,每本收印刷费1.5元;若该校印制证书x本.
(1)当印制证书3000本时,甲厂的收费为 元,乙厂的收费为 元;
(2)请问印刷多少本证书时,甲乙两厂收费相同?
(3)你认为选择哪一家印刷厂更优惠?
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【题目】如图,抛物线 (a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程 的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】为了迎接郑州市第二届“市长杯”青少年校园足球超级联赛,某学校组织了一次体育知识竞赛.每班选25名同学参加比赛,成绩分别为A、B、C、D四个等级,其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分.学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成统计图,如图所示.
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整;
(2)写出下表中a、b、c的值:
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | 方差 | |
一班 | a | b | 90 | 106.24 |
二班 | 87.6 | 80 | c | 138.24 |
(3)根据(2)的结果,请你对这次竞赛成绩的结果进行分析.
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