Question

某销售公司为了更好地销售某种商品，技术人员对去年三月份至九月份该商品的售价和进价进行了调研．调研结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）（3≤t≤9，t为整数）的函数关系式为：M=

2 3 t+4(3≤t≤7) 1 6 t+ 15 2 (7≤t≤9)

；每件商品的成本Q（元）与时间t（月）（3≤t≤9，t为整数）的关系如下表：

时间t（月）	…	4	5	6	7	…
每件进价Q（元）	…	8 3	11 3	4	11 3	…

根据以上信息解答下列问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的Q与t之间的函数关系式；
（2）按照去年的销售规律，在今年的三月至七月期间，若该公司共有此种商品90000件，准备在一个月内全部销售完，那么在哪个月销售所获利润最小？最小利润是多少？
（3）预计今年十月每件商品的进价将比去年九月减少a%，随即进价将出现反弹，十一月份的进价将在今年十月的基础上增加2a%．而十一月份每件商品的售价将比去年九月增加0.5a%．欲使今年十一月份销售每件产品的利润是去年九月份的1.2倍，试估算a的整数值．（参考数据：48²=2304，49²=2401，50²=2500，51²=2601，52²=2704）

Answer 1

分析：（1）设Q与t之间的函数关系式为Q=at²+bt+c，根据统计表中的数据利用待定系数法就可以求出结论；
（2）设在今年的三月至七月期间月销售所获利润为W元，根据题意求出W与t之间的函数关系式，根据函数解析式的性质就可以求出最值；
（3）先根据（1）、（2）的结论求出去年9月的进价为：-

1

3

×81+4×9-8=1元，今年11月的进价为1（1-a%）（1+2a%）元，去年九月的售价为：

1

6

×9+

15

2

=9元，今年11月份的售价为：9（1+0.5a%）元，根据十一月份销售每件产品的利润是去年九月份的1.2倍建立方程求出其解就可以了．

解答：解：（1）设Q与t之间的函数关系式为Q=at²+bt+c，由统计表，得

8 3 =16a+4b+c 11 3 =25a+5b+c 4=36a+6b+c

，
解得：

a=- 1 3 b=4 c=-8

，
∴Q=-

1

3

t²+4t-8；
（2）设在今年的三月至七月期间月销售所获利润为W元，由题意，得
W=[（

2

3

t+4）-（-

1

3

t²+4t-8）]×90000，
=[

1

3

t²-

10

3

t+12]×90000，
=30000t2-300000+1080000，
=30000（t²-10t）+1080000，
=30000（t-5）²+330000，
∵a=30000＞0，
∴抛物线的开口向上，W有最小值，
∴t=5时，W_最小值=330000，
∴在5月份销售利润最小，最小利润是330000元；
（3）由题意，得
去年9月的进价为：-

1

3

×81+4×9-8=1元，
今年11月的进价为：1（1-a%）（1+2a%）元，
去年九月的售价为：

1

6

×9+

15

2

=9元，
今年11月份的售价为：9（1+0.5a%）元，
∴9（1+0.5a%）-1（1-a%）（1+2a%）=（9-1）×1.2，
设a%=m，则
9（1+0.5m）-1（1-m）（1+2m）=9.6，
9+4.5m-（1+m-2m²）=9.6，
20m²+35m-16=0，
m=

-35± 2505

40

，
∵50²=2500，
∴m=

-35±50

40

，
∴m₁=0.375，m₂=-2.125（舍去），
∴0.375=a%，
∴a=37.5，
∵a为整数，
∴a≈38．
答：a的整数值为38．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时求出函数的解析式是解第三问的基础，根据十一月份销售每件产品的利润是去年九月份的1.2倍建立方程是求a的值的关键．