Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点A，C，B的抛物线的一部分与经过点A，E，B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“双抛物线”．已知P为AB中点，且P（-1，0），C（-1，1），E（0，-3），S_△CPA=1．
（1）试求“双抛物线”中经过点A，E，B的抛物线的解析式；
（2）若点F在“双抛物线”上，且S_△FAP=S_△CAP，请你直接写出点F的坐标；
（3）如果一条直线与“双抛物线”只有一个交点，那么这条直线叫做“双抛物线”的切线．若过点E与x轴平行的直线与“双抛物线”交于点G，求经过点G的“双抛物线”切线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵S_△ACP=AP•|y_C|=1，由题意知：|y_C|=1，
∴AP=2，即A（-3，0）；
由于A、B关于点P对称，则B（1，0）；
设经过A、E、B的抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），则有：
a（0+3）（0-1）=-3，a=1，
故所求抛物线的解析式为：y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3．

（2）由于△PAC和△PAF同底，若S_△FAP=S_△CAP，那么C、F的纵坐标的绝对值相同；
当F点的纵坐标为1时，C、F关于直线x=-1对称，则F（--1，1）；
当F点纵坐标为-1时，代入y=x²+2x-3中，得：x²+2x-3=-1，
解得x=-1±；
故F（-1+，-1）或（-1-，-1）；
综上可知：存在符合条件的F点，且坐标为：F₁（--1，1）、F₂（-1+，-1）、F₃（-1-，-1）．

（3）由于EG∥x轴，则E、G关于直线x=-1对称，故G（-2，-3）；
设经过点G的“双抛物线”的切线的解析式为：y=kx+b，
则有：-2k+b=-3，b=2k-3；
∴y=kx+2k-3；
由于G点同时在切线和抛物线的图象上，
则有：x²+2x-3=kx+2k-3，
即x²+（2-k）x-2k=0，
由于两个函数只有一个交点，则：
△=（2-k）²+8k=0，
解得k=-2；
故所求切线的解析式为：y=-2x-7．
分析：（1）已知了△APC的面积和点C的纵坐标，即可得到AP的长，进而可根据P点坐标，求出A、B的坐标，从而利用待定系数法求得过A、E、B三点的抛物线解析式．
（2）显然C点关于双抛物线的对称轴的对称点符合点F的要求，其坐标易求得；若F、C的纵坐标互为想法是，则F点的纵坐标为-1，将其代入过A、E、B三点的抛物线的解析式中，即可求得另两个点F的坐标．
（3）由于E、G关于抛物线的对称轴对称，易求得G点的坐标，设出经过点G的切线的解析式，将点G的坐标代入该直线的解析式中，即可消去一个未知数，然后联立（1）所得抛物线的解析式，由于两个函数只有一个交点，那么所得方程的根的判别式△=0，可据此求出该切线的解析式．
点评：此题主要考查了三角形面积的计算方法、二次函数的对称性、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及根的判别式等重要知识，涉及的知识面广，难度较大．