Question

3．已知等边△ABC的边长为2，P是△ABC内一点，且点P到三边BC、AC、AB的距离x、y、z之积为$\frac{\sqrt{3}}{9}$，则x、y、z的平方和为1．

Answer 1

分析 利用利用三角形的面积公式推出x+y+z=$\sqrt{3}$，结合条件，根据x+y+z≥3•$\root{3}{xyz}$，当且仅当x=y=z时，等号成立，推出x=y=z即可解决问题．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$•2•（x+y+z），
∵x+y+z=$\sqrt{3}$，
∵xyz=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
又∵x+y+z≥3•$\root{3}{xyz}$，当且仅当x=y=z时，等号成立，
∵x+y+z=$\sqrt{3}$，3•$\root{3}{xyz}$=3•$\root{3}{\frac{\sqrt{3}}{9}}$=$\root{3}{27×\frac{\sqrt{3}}{9}}$=$\root{3}{3\sqrt{3}}$=$\root{3}{（\sqrt{3}）^{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴x+y+z=3•$\root{3}{xyz}$，
∴x=y=z=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x²+y²+z²=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$=1．
故答案为1．

点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的性质，解题的关键是用到不等式：x+y+z≥3•$\root{3}{xyz}$，当且仅当x=y=z时，等号成立，只要证明等号成立，即可解决问题，属于竞赛题目．