Question

5．已知抛物线y=a（x-h）²-2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
（Ⅰ）若点A（-1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点A（-1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若抛物线与直线y₁=x-6相交于M、D两点
①用含a的式子表示点D的坐标；
②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后把A点坐标代入y=a（x-2）²-2中求出a即可得到抛物线解析式；
（Ⅱ）易得△ABM是等腰直角三角形，M（h，-2），根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半得AB=4，于是得到B点坐标为（-5，0）或（3，0），把A（-1，0），B（-5，0）代入y=a（x-h）²-2得$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-h）^{2}-2=0}\\{a（-5-h）^{2}-2=0}\end{array}\right.$，或把A（-1，0），B（3，0）代入y=a（x-h）²-2得$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-h）^{2}-2=0}\\{a（3-h）^{2}-2=0}\end{array}\right.$，然后分别解方程组求出对应的a和h的值即可；
（Ⅲ）①利用一次函数解析式求出M（4，-2），再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=a（x-4）^{2}-2}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得D点坐标；
②先表示出C（0，16a-2），利用CD∥x轴得到C点和D点的纵坐标相等得到关于a的方程，然后解方程求出a即可得到抛物线解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线过点A（-1，0），B（5，0）
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
把A（-1，0）代入y=a（x-2）²-2得a（-1-2）²-2=0，解得a=$\frac{2}{9}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{9}$（x-2）²-2；
（Ⅱ）∵点A与点B为对称点，
∴△ABM是等腰直角三角形，
而M（h，-2），
∴AB=2×|-2|=4，
∴B点坐标为（-5，0）或（3，0），
把A（-1，0），B（-5，0）代入y=a（x-h）²-2得$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-h）^{2}-2=0}\\{a（-5-h）^{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得h=-3，a=$\frac{1}{2}$，此时抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+3）²-2；
把A（-1，0），B（3，0）代入y=a（x-h）²-2得$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-h）^{2}-2=0}\\{a（3-h）^{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得h=1，a=$\frac{1}{2}$，此时抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2；
（Ⅲ）①把M（h，-2）代入y=x-6得h-6=-2，解得h=4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=a（x-4）^{2}-2}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4a+1}{a}}\\{y=\frac{1-2a}{a}}\end{array}\right.$，
∴D点坐标为（$\frac{4a+1}{a}$，$\frac{1-2a}{a}$）；
②当x=0时，y=a（0-4）²-2=16a-2，则C（0，16a-2），
∵CD∥x轴，
∴$\frac{1-2a}{a}$=16a-2，解得a=±$\frac{1}{4}$，
当a=-$\frac{1}{4}$时，C、D两点重合，舍去，
∴a=$\frac{1}{4}$
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-4）²-2．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了抛物线与一次函数图象的交点问题和等腰直角三角形的性质．