如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A.B.C.D四点.其中A.B两点的坐标分别为.点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点.过劣弧$\widehat{ED}$上的点F作FH⊥AD于点H.且FH=1.5(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式,(2)若点P是x轴上的一个动点.试求出△PEF的周长最小时点P的坐标,(3)在抛物线的对称轴上是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧$\widehat{ED}$上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5
（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）首先根据圆的轴对称性求出点D的坐标，将A、B、D三点代入，即可求出本题的答案；
（2）由于点E与点B 关于x轴对称，所以，连接BF，直线BF与x轴的交点，即为点P，据此即可得解；
（3）从CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三个方面进行分析，据此即可得解．

解答解：（1）连接BD，
∵AD是⊙M的直径，∴∠ABD=90°
∴△AOB∽△ABD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，
在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{AD}$，
∴AD=5，
∴DO=AD-AO=5-1=4，
∴D（4，0），
把点A（-1，0）、B（0，-2）、D（4，0）代入y=ax²+bx+c可得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线表达式为：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$；
（2）连接FM，
在Rt△FHM中，FM=$\frac{5}{2}$，FH=$\frac{3}{2}$，
∴MH=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=2，
OM=AM-OA=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴OH=OM+MH=$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$，
∴F（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设直线BF的解析式为y=kx+b，
则：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BF的解析式为：y=x-2，
连接BF交x轴于点P，∵点E与点B关于x轴对称，
∴点P即为所求，
当y=0时，x=2，
∴P（2，0）；
（3）如图，CM=$\frac{5}{2}$
抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，
∵OM=$\frac{3}{2}$，∴点M在直线x=$\frac{3}{2}$上，
根据圆的对称性可知，点C与点B关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，
∴点C（3，-2），
①当CM=MQ=$\frac{5}{2}$时，点Q可能在x轴上方，也可能在x轴下方，
∴Q₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），Q₂（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{2}$），
②当CM=CQ时，过点C作CN⊥MQ，
∴MN=NQ=2，∴MQ=4，
∴Q₃（$\frac{3}{2}$，-4），
③当CQ₄=MQ₄时，过点C作CR⊥MQ，Q₄V⊥CM，
则：MV=CV=$\frac{5}{4}$，Q₄V=$\sqrt{M{{Q}_{4}}^{2}-\frac{25}{16}}$，
Rt△CRM∽Rt△Q₄VM，
∴$\frac{M{Q}_{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{M{{Q}_{4}}^{2}-\frac{25}{16}}}{\frac{3}{2}}$，
解得：MQ₄=$\frac{25}{16}$，
∴Q₄（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{16}$）
综上可知，存在四个点，即：
Q₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），Q₂（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{2}$），Q₃（$\frac{3}{2}$，-4），Q₄（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{16}$）．

点评本题主要考查了二次函数的抛物线的解析式的求法，以及根据对称求线段的最小值的问题，还考查了等腰三角形的知识和相似三角形的知识，是一道综合性很强的题目，注意认真总结．

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