Question

19．如图，在△ABC中．AB=AC．
（l）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=15°．
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=20°．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD．
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，井说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质得出∠DAE=30°，又因为AD=AE，根据等边对等角的性质以及三角形内角和定理得出∠ADE=∠AED=75°，再利用三角形外角的性质即可得出∠EDC=15°；
（2）同理，易证∠ADE=70°，所以∠EDC=20°；
（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD）．
（4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C，而B=∠C，所以∠BAD=2∠EDC．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°．
∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=15°．
故答案为15°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°．
∵∠BAD=40°，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=20°．
故答案为20°；

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD）．
故答案为∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD；

（4）仍成立，理由如下：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠BAD=2∠EDC，
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD．

点评 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，得到角之间的关系是正确解答本题的关键．