Question

如图，AB为⊙O的直径，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，直线CD、ED分别交直线AB于点F和M．
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）已知OM=1，MF=3，请求出⊙O的半径并计算tan∠DMF的值．

Answer 1

解：（1）∵OA、OC都是⊙O的半径，且G为OA的中点，
∴在Rt△OCG中，cos∠COG=，
∴∠COG=60°即∠COA=60°；
∵==，
∴∠EDC=∠COA=60°，
∴∠EDF=120°，即∠FDM=120°；

（2）∵直径AB⊥CE，
∴AB平分CE，即AB垂直平分CE，
∴MC=ME，
∴∠CMA=∠EMA，
又∵∠FMD=∠EMA，
∴∠FMD=∠CMA，
∵∠FDM=∠COM=120°，
∴∠F=∠OCM，
又∵∠FOC=∠COM，
∴△FOC∽△COM，
∴，即OC²=OM•OF=1×（1+3）=4，
∴OC=2，
∴OG=OC=1，
∵OM=1，
∴GM=OG+OM=1+1=2．
在Rt△CGO中，CG=OC•sin∠COG=2×=，
又∵∠DMF=∠CMA，
∴tan∠DMF=tan∠CMA=．
故⊙O的半径我2，tan∠DMF=．
分析：（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，弧CA=弧AE，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°；
（2）由直径AB⊥CE，根据垂径定理得出AB垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质得到MC=ME，则∠CMA=∠EMA，∠FMD=∠CMA，根据三角形内角和定理得出∠F=∠OCM，又∠FOC=∠COM，得出△FOC∽△COM，根据相似三角形对应边成比例得出，求出OC=2；解Rt△CGO，求出CG=，在Rt△CMG中，根据正切函数的定义，求出tan∠CMA=，则tan∠DMF=．
点评：本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质等知识点，根据垂径定理得出角相等是解题的关键．