Question

生产某种商品x吨，所需的费用是1000+5x+

1

10

x2元，当出售这种商品x吨时，每吨的价格是P元，其中p=a+

x

b

(a、b是常数)．若生产出来的这种商品能够全部卖完，那么当产量是150吨时，利润最大，且此时P=40，请据以上条件求出a、b的值．（利润=销售金额-生产费用）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：首先设出售x吨时，利润是y元，根据题意表示出利润，然后根据一元二次函数求最值方法进行计算，求出a，b

解答：解：依题意有：

150

b

+a=40，
则b=

150

40-a

①，
设出售这种商品x吨得到的利润为y元，则有：
y=px-(1000+5x+

x2

10

)，
=(

1

b

-

1

10

)x2+(a-5)x-1000，
将①代入上式得：
y=-

a-25

150

x2+(a-5)x-1000，
=-

a-25

150

[x-

75(a-5)

a-25

]2+

75(a-5)2

2(a-25)

-1000，
故当a-25＞0且x=

75(a-5)

a-25

时，y取到最大值．
所以150=

75(a-5)

a-25

，解得a=45，
代入得b=-30．

点评：本题考查了二次函数的应用，通过对实际问题分析，转化为函数表达式，通过一元二次函数求最值计算，属于中档题．