Question

（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x²于A、B两点．
（1）若直线m的解析式为y=-

1

2

x+

3

2

，求A，B两点的坐标；
（2）①若点P的坐标为（-2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；
②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．
（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）联立抛物线y=x²与直线y=-

1

2

x+

3

2

的解析式，求出点A、B的坐标．
（2）①如答图1所示，求出点P坐标（-2，2），设A（m，m²）．作辅助线，构造直角梯形PGFB，AE为中位线，求出点B的坐标（用含m的代数式表示），然后代入抛物线的解析式求出m的值；
②与①解题思路一致．设P（a，-2a-2），A（m，m²）．作辅助线，构造直角梯形PGFB，AE为中位线，求出点B的坐标（用含a、m的代数式表示），然后代入抛物线的解析式得到关于m的一元二次方程，根据其判别式大于0，可证明题中结论成立．
（3）△AOB的外心在边AB上，则AB为△AOB外接圆的直径，∠AOB=90°．设A（m，m²），B（n，n²）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn=-1．再联立直线m：y=kx+b与抛物线y=x²的解析式，由根与系数关系得到：mn=-b，所以b=1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵点A、B是抛物线y=x²与直线y=-

1

2

x+

3

2

的交点，
∴x²=-

1

2

x+

3

2

，
解得x=1或x=-

3

2

．
当x=1时，y=1；当x=-

3

2

时，y=

9

4

，
∴A（-

3

2

，

9

4

），B（1，1）．

（2）①∵点P（-2，t）在直线y=-2x-2上，∴t=2，∴P（-2，2）．
设A（m，m²），如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．

∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=

1

2

（PG+BF）．
∵GE=EF=OE+OF，∴OF=GE-OE=2+2m．
∵AE=

1

2

（PG+BF），∴BF=2AE-PG=2m²-2．
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=-1或-3，
当m=-1时，m²=1；当m=-3时，m²=9
∴点A的坐标为（-1，1）或（-3，9）．
②设P（a，-2a-2），A（m，m²）．
如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
与①同理可求得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=16a²-8（a²-2a-2）=8a²+16a+16=8（a+1）²+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．

（3）∵△AOB的外心在边AB上，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠AOB=90°．
设A（m，m²），B（n，n²），
如答图2所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．

∴

AE

OF

=

OE

BF

，即

m2

n

=

-m

n2

，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
设直线m的解析式为y=kx+b，联立

y=kx+b y=x2

，得：x²-kx-b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=-b．
∴b=1．
设直线m与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，-2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，-2a-2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=-a，GD=OG-OD=-2a-3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG²+GD²=PD²，
即：（-a）²+（-2a-3）²=3²，整理得：5a²+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=-

12

5

，
当a=-

12

5

时，-2a-2=

14

5

，
∴P（-

12

5

，

14

5

）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、梯形及梯形中位线、勾股定理、相似三角形、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意根的判别式的应用，第（3）问中，注意根与系数关系的应用．