Question

k、a、b为正整数，k被a²、b²整除所得的商分别为m，m+116．
（1）若a，b互质，证明a²-b²与a²、b²都互质；
（2）当a，b互质时，求k的值．
（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．

Answer 1

（1）设s为a²-b²与a²的最大公约数，
则a²-b²=su，a²=sv，u，v是正整数，
∴a²-（a²-b²）=b²=s（v-u），可见s是b²的约数，
∵a，b互质，
∴a²，b²互质，可见s=1．
即a²-b²与a²互质，同理可证a²-b²与b²互质；

（2）由题知：ma²=（m+116）b²，
m（a²-b²）=116b²，
∴（a²-b²）|116b²，
∵（a²-b²，b²）=（a²，b²）=1，
∵（a²-b²）|116，
所以a²-b²是116的约数，116=2×2×29，
a²-b²=（a-b）（a+b），
而a-b和a+b同奇偶性，且a，b互质，
∴a²-b²要么是4的倍数，要么是一个大于3的奇数，
∴（a-b）（a+b）=29 或（a-b）（a+b）=116，
∴a-b=1，a+b=29或a-b=1，a+b=116或a-b=2，a+b=58或a-b=4，a+b=29，
解得只有一组解符合条件，
a=15，b=14，
∴m（15²-14²）=116×14²，
∴m=4×142=784，
∴k=784×15²=176400；

（3）设a=5x，b=5y，即x，y的最大公约数为1，
则m（a²-b²）=116b²，
∴即m（25x²-25y²）=116（25y）²，
∴m（x²-y²）=116（y）²，
∵x，y互质，则有：m=2⁴×7²，
∴x=15，y=14，
a=75，b=70，m=784，
k=784×75²=4410000．