Question

9．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，EF与AB的延长线交于点E，与CD的延长线交于点F．
求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 首先利用平行四边形的性质得出∠AEO=∠CFO，进而利用全等三角形的判定与性质得出AC与EF互相垂直平分，进而得出答案．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∵EF⊥AC，OE=OF，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AECF是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．