Question

【题目】已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．

（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：

①EB＝EP；

②∠EFP＝30°；

（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

Answer 1

【答案】（1）①见解析 ②30°（2）见解析

【解析】

（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．

②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°．

（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．

证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°

∴∠A＝90°﹣30°＝60°

同理∠EDF＝60°

∴∠A＝∠EDF＝60°

∴AC∥DE

∴∠DMB＝∠ACB＝90°

∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM

∴

即M是BC的中点

∵EP＝CE，即E是PC的中点

∴ED∥BP

∴∠CBP＝∠DMB＝90°

∴△CBP是直角三角形

∴BE＝PC＝EP

②∵∠ABC＝∠DFE＝30°

∴BC∥EF

由①知：∠CBP＝90°

∴BP⊥EF

∵EB＝EP

∴EF是线段BP的垂直平分线

∴PF＝BF

∴∠PFE＝∠BFE＝30°

（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP

∴△QEP≌△DEC（SAS）

则PQ＝DC＝DB

∵QE＝DE，∠DEF＝90°

∴EF是DQ的垂直平分线

∴QF＝DF

∵CD＝AD

∴∠CDA＝∠A＝60°

∴∠CDB＝120°

∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP

∴△FQP≌△FDB（SAS）

∴∠QFP＝∠BFD

∵EF是DQ的垂直平分线

∴∠QFE＝∠EFD＝30°

∴∠QFP+∠EFP＝30°

∴∠BFD+∠EFP＝30°