Question

如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线

y=-2x+bx+c (a≠0)经过点A、C.

1.求抛物线的解析式;

2.设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;

3.点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由

 

Answer 1

【答案】

 

1.在中,当时,

当时,

∴A(2,0) ，    C(0,4)   代入

则                      1分

有                              2分

∴抛物线解析式为       3分

2.当时,       ∴

过P作PD⊥轴于D

,   OC=4,OD=

∴CD=,   DP=∴

 

∴               4分

设△ABQ中AB边上的高为,  

当时,

   ,   

∴     ∴

由题意

∴

                                       5分

设或

当

    

       

当, ,

∴Q₁(0,4) , Q₂(1,4), ,   7分

3.若存在点F使△MEF为等腰直角三角形,设

∵F不在原点, ∴点E不为直角顶点

①当M为直角顶点时,有

若同号(同正,即M在一象限)

则,即

     ∴,此时

若异号(M在二或四象限),   则,  即,  

∴M₂(4,-4)   此时                      9分

   ②当F为直角顶点时,有

若同号(M在一象限)   则

即,  ,   , ∴,  此时F₃(0,1)

若异号(M在二象限或四象限)

则,     即,   此方程无解.

∴存在△MEF为等腰直角三角形,其坐标为

 ;   ;  

【解析】略