Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D，E在AB边上，F，G分别在BC和AC上，若AD=4，BE=1，求：
（1）DE的长．
（2）AC的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出正方形∠GDE=∠DEF=90°，DE=EF=FG=DG，得出∠ADG=∠FEB=90°，证出∠AGD=∠B，得出△ADG∽△FEB，得出对应边成比例$\frac{AD}{DG}=\frac{EF}{BE}$，即可得出DE的长；
（2）由勾股定理求出AG，再证明△ADG∽△ACB，得出对应边成比例$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AB}$，即可得出AC的长．

解答 解：（1）∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDE=∠DEF=90°，DE=EF=FG=DG，
∴∠ADG=∠FEB=90°，
∴∠A+∠AGD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AGD=∠B，
∴△ADG∽△FEB，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{EF}{BE}$，
即$\frac{4}{DG}=\frac{EF}{1}$，
∴DG•EF=4，
∴DE²=4，
∴DE=2；
（2）AB=AD+DE+BE=4+2+1=7，DG=DE=2，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{A{D}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠A=∠A，∠ADG=∠C=90°，
∴△ADG∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AB}$，
即$\frac{4}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{7}$，
解得：AC=$\frac{14\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．