分析:(1)通过验证容易得到猜想:三组正对边分别平行.要证明两条线段平行,只需证明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,要证AB∥DE,只需连接AD,证明∠ADE=∠DAB即可,其它两组同理可得.
(2)要证BC=EF,CD=AF,只需连接AE、BD,证明△AFE≌△DCB即可.
(3)由条件“三条正对角线AD,BE,CF相交于一点O”及(1)中的结论可证到
===
,将等角六边形ABCDEF补成等边三角形后,可以证到AB+AF=DE+DC,从而得到三组正对边分别相等.
(4)若只有1个内角为120°或有2个内角为120°,可以通过举反例说明该六边形不一定是等角六边形;若有3个内角为120°,可以通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形.
解答:解:(1)①结论:AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF.
证明:连接AD,如图1,
∵六边形ABCDEF是等角六边形,∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B=
=120°.
∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°,∴∠DAF+∠EDA=360°-120°-120°=120°.
∵∠DAF+∠DAB=120°,∴∠DAB=∠EDA.∴AB∥DE.
同理BC∥EF,CD∥AF.
②结论:EF=BC,AF=DC.
证明:连接AE、DB,如图2,
∵AB∥DE,AB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AE=DB,∠EAB=∠BDE.
∵∠BAF=∠EDC.∴∠FAE=∠CDB.
在△AFE和△DCB中,
.
∴△AFE≌△DCB.
∴EF=BC,AF=DC.
③结论:AB=DE,AF=DC,EF=BC.
延长FE、CD相交于点P,延长EF、BA相交于点Q,延长DC、AB相交于点S,如图3.
∵六边形ABCDEF是等角六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°.∴∠QAF=∠QFA=60°.
∴△QAF是等边三角形.∴∠Q=60°,QA=QF=AF.
同理:∠S=60°,SB=SC=BC;∠P=60°,PE=PD=ED.
∵∠S=∠P=60°,∴△PSQ是等边三角形.∴PQ=QS=SP.
∴QB=QS-BS=PS-CS=PC.∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC.
∵AB∥ED,∴△AOB~△DOE.∴
==.
同理:
=,
=.
∴
==.
∴
===
=1.
∴AB=ED,AF=DC,EF=BC.
(2)连接BF,如图4,
∵BC∥EF,∴∠CBF+∠EFB=180°.
∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°,∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°.
同理:∠A+∠ABC+∠C=360°.
∴∠AFE=∠C.
同理:∠A=∠D,∠ABC=∠E.
Ⅰ.若有2个内角等于120°,不能保证该六边形一定是等角六边形.
反例:当∠A=∠D=120°,∠ABC=150°时,∠E=∠ABC=150°.
∵六边形的内角和为720°,∴∠AFE=∠C=
(720°-120°-120°-150°-150°)=90°.
此时该六边形不是等角六边形.
Ⅱ.若有3个内角等于120°,能保证该六边形一定是等角六边形.
设∠A=∠D=α,∠ABC=∠E=β,∠AFE=∠C=γ.则2α+2β+2γ=720°.∴α+β+γ=360°.
∵有3个内角等于120°,∴α、β、γ中至少有两个为120°.
若α、β、γ都等于120°,则六个内角都等于120°;
若α、β、γ中有两个为120°,根据α+β+γ=360°可得第三个也等于120°,则六个内角都等于120°.
综上所述:至少有3个内角等于120°,能保证该六边形一定是等角六边形.