Question

已知△ABC为等腰三角形，由A点作BC边的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数为（　　）

A．75°

B．90°

C．75°或90°

D．15°或75°或90°

Answer 1

分析：本题要分情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部以，③BC边为等腰三角形的底边三种情况．

解答：解：如下图，分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，AD=

1

2

BC=

1

2

AB，
∵sin∠B=

AD

AB

=

1

2

，
∴∠B=30°，∠C=

180°-∠B

2

=75°，
∴∠BAC=∠C=75°；
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，AD=

1

2

BC=

1

2

AC，
∵sin∠ACD=

AD

AC

=

1

2

，
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∵∠B=∠CAB，
∴∠BAC=15°；
③AC=BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合知，点D为BC的中点，
由题意知，AD=

1

2

BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故选D．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分三种情况讨论：前两种情况为∠BAC为等腰三角形的底角，且AD在三角形内部还是外部；第三种为∠BAC为等腰三角形的顶角；这是正确解答本题的关键．