Question

已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点．记：过点F的双曲线为C₁，过点M且以B为顶点的抛物线为C₂，过点P以M为顶点的抛物线为C₃．
（1）如图，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求C₁、C₂的函数解析式；
（2）当m发生变化时，①在C₁的每一支上，y随x的增大如何变化请说明理由．②若C₂、C₃中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围．

Answer 1

解：（1）①点M的坐标为（2，4），点F的坐标为（-2，8）．
设C₁的函数解析式为y=（k≠0）．
∵C₁过点F（-2，8），
∴C₁的函数解析式为y=-．
∵C₂的顶点B的坐标是（0，6）
∴设C₂的函数解析式为y=ax²+6（a≠0）．
∵C₂过点M（2，4）
∴4a+6=4，
解得a=-．
∴C₂的函数解析式为y=-x²+6．

（2）依题意得，A（m，0），B（0，m），
∴点M坐标为（m，m），点F坐标为（-m，m）
①设C₁的函数解析式为y=（k≠0）．
∵C₁过点F（-m，m）
∴k=-m²．
∵m≠0
∴k＜0
∴在C₁的每一支上，y随着x的增大而增大．
②∵点M坐标为（m，m），
∴点E坐标为（0，m），
∴点N坐标为（0，m）．
∵B（0，m），
∴过点M且以B为顶点的抛物线C₂的解析式为y=-x²+m，
过点P以M为顶点的抛物线C₃的解析式为y=（x-m）²+m．
∴当m＞0时，若C₂、C₃中的y都随着x的增大而减小，则，解得0＜x＜m；
当m＜0时，若C₂、C₃中的y都随着x的增大而减小，则，解得m＜x＜0．
答：当m＞0时，满足题意的x的取值范围为0＜x＜m；当m＜0时，满足题意的x的取值范围为m＜x＜0．
分析：（1）由直线Y=-X+6易求OA、OB，接着可求AB、AM、AC、AF，运用相似性质可求点M、F纵坐标，进而求出横坐标；
（2）函数增减性关键在于K值，求出解析式可说增减性；知道增减性，可求取值范围．
点评：此题难度稍大，考查一次函数、反比例函数、二次函数的图形和性质．