Question

如图所示，在长方形ABCD中，AB=3，BC=9，将图形沿着EF对折，使得B点与D点重合，A点落在A′的位置．
（1）求DE的长度；
（2）试说明DE=DF的理由；
（3）求EF的长度．

Answer 1

分析：（1）根据翻折的性质可得A′E=AE，A′D=AB，再用DE表示出A′E，然后在Rt△A′DE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据翻折的性质可得∠BFE=∠DFE，再根据长方形的对边平行可得AD∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，从而得到∠DFE=∠DEF，再根据等角对等边证明即可；
（3）过点F作FG⊥AD于G，在Rt△DFG中，利用勾股定理列式求出DG，再求出EG，然后在Rt△EFG中，利用勾股定理列式求解即可．

解答：解：（1）∵图形沿着EF对折，B点与D点重合，A点落在A′的位置，
∴A′E=AE，A′D=AB，
在长方形ABCD中，AB=3，BC=9，
∴A′D=3，AD=BC=9，
∴A′E=AE=AD-DE=9-DE，
在Rt△A′DE中，A′E²+A′D²=DE²，
∴（9-DE）²+3²=DE²，
解得DE=5；

（2）由翻折的性质得，∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（3）如图，过点F作FG⊥AD于G，
则FG=AB=3，
在Rt△DFG中，DG=

DF2-FG2

=

52-32

=4，
EG=DE-DG=5-4=1，
在Rt△EFG中，EF=

EG2+FG2

=

12+32

=

10

．

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后的图形能够互相重合得到相等的角和线段是解题的关键，（3）难点在于作辅助线构造出直角三角形．