Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．
（1）求证：CF=CG；
（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接AC，首先可通过DG∥AB，AB=BC证得AC为∠DCE的角平分线，从而得到△ADC≌△AEC，可知CD=CE；再由∠FDC=∠GEC=90°，∠FCD=∠GCE，可判定△FDC≌△GEC，即可得CF=CG．
（2）由已知条件，可求得AE、AC的长，法一：可利用C、A分别是DE垂直平分线上的点，并通过解直角三角形AEC的面积求得EH的长，从而得到ED的长．法二：通过证明△ADE∽△BAC可得

DE

AC

=

AE

BC

，从而求得DE的长．

解答：（1）证明：连接AC，（1分）
∵DC∥AB，AB=BC，
∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2；
∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AEC，（3分）
∴CD=CE；
∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，
∴△FDC≌△GEC，
∴CF=CG．（5分）

（2）解：由（1）知，CE=CD=2，
∴BE=4CE=8，
∴AB=BC=CE+BE=10，
∴在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=6，
∴在Rt△ACE中，AC=

AE2+CE2

=2

10

；（7分）

法一：由（1）知，△ADC≌△AEC，
∴CD=CE，AD=AE，
∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，
∴DE⊥AC，DE=2EH；（8分）
在Rt△AEC中，S△AEC=

1

2

AE•CE=

1

2

AC•EH，
∴EH=

AE•CE

AC

=

6×2

2 10

=

3 10

5

，（9分）
∴DE=2EH=2×

3 10

3

=

6 10

5

．（10分）

法二：在Rt△AEC中，∠2+∠6=90°，
在Rt△AEH中，∠5+∠6=90°，
∴∠2=∠5；
∵AD=AE，AB=BC，
∴∠5=∠7，∠CAB=∠2，
∴∠7=∠CAB，
∴△ADE∽△BAC；（9分）
∴

DE

AC

=

AE

BC

，即

DE

2 10

=

6

10

，
∴DE=

6 10

5

．（10分）

点评：解此题的关键在于作好辅助线，涉及到直角梯形的性质、全等三角形的判定、勾股定理的运用、垂直平分线的运用、相似三角形的判定等知识点，是一道考查学生综合能力的一道好题．