Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；

（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）（7，0）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）将x=0代入直线的解析式求得点C（0，3），将y=0代入求得x=﹣3，从而得到点A（﹣3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C的坐标代入可求得a=﹣1，从而得到抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

（2）将x=2分别代入直线和抛物线的解析式，求得点D（2，5）、E（2，﹣5），然后根据平行四边形的对角线互相平分可求得点F的坐标；

（3）如图2所示：设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）．QP=﹣a2﹣3a，由三角形的面积公式可知：△ACQ的面积=﹣然后利用配方法求得二次函数的最大值即可

解：（1）∵将x=0代入y=x+3，得y=3，

∴点C的坐标为（0，3）．

∵将y=0代入y=x+3得到x=﹣3．

∴点A的坐标为（﹣3，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C的坐标代入得：﹣3a=3．

解得：a=﹣1．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）．

整理得：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵将x=2代入y=x+3得，y=5，

∴点D（2，5）．

将x=2代入y=﹣x2﹣2x+3得：y=﹣5．

∴点E的坐标为（2，﹣5）．

如图1所示：

∵四边形ADFE为平行四边形，

∴点F的坐标为（7，0）．

（3）如图2所示：

设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）．

QP=﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）=﹣a2﹣2a+3﹣a﹣3=﹣a2﹣3a．

∵△ACQ的面积=，

∴△ACQ的面积==﹣=（a）2+．

∴△ACQ的面积的最大值为．