Question

【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合) ．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF；②CF＝BCCD．
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：①如图①，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠BCF=90°，

即BD⊥CF.

②由①得△BAD≌△CAF，
∴BD=CF
∵BD+CD=BC，
∴CF=BC-CD.

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（2）

解：CF-CD=BC．理由如下：
如图②，
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAF=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF-CD=BC．

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（3）

解：①CD-CF=BC;

②等腰三角形.理由如下：

∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．

又∵OD=OF，

∴OC=OD=OA，

∴△AOC是等腰三角形.

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【解析】（1），（2）和（3）中每题都要运用“SAS”证明△BAD≌△CAF，然后得到边的关系和角的关系；（3）的②还要运用到直角三角形中斜边上的中线是斜边长的一半.
【考点精析】利用等腰直角三角形和直角三角形斜边上的中线对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．