Question

已知，如图，在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线解析式为y=-

3

3

x+1．
（1）在x轴上存在这样的点M，使AMB为等腰三角形，求出所有符合要求的点M的坐标；
（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒

3

个单位长度的速度向点O移动，同时，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动．设P、Q移动的时间为t秒．
①是否存在这样的时刻2，使△OPQ与△BCP相似，并说明理由；
②设△BPQ的面积为S，求S与t间的函数关系式，并求出t为何值时，S有最小值．

Answer 1

分析：（1）因为直线AB的解析式已知，所以可求得A、B、C的坐标，若△AMB是等腰三角形，则可能MA=MB或MA=AB或MB=AB，分别分析求解即可；
（2）①假设相似，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，求解即可；
②因为S=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP求解即可．

解答：解：（1）易知A（0，1），C（

3

，0），B（

3

，1）．
①AB为腰且MA=AB时，
由题意可知，AM₂=AB=

3

，
∴OM₂=

2

．
∴M₂（

2

，0），由对称性知M₄（-

2

，0），
②AB为腰且MB=AB时，
由题意得OM₄=OC-CM₄=

3

-

2

，
∴M₁（

3

-

2

，0），
由对称性可知M₃（

3

+

2

，0），
③AB为底边，则M₅（

1

2

3

，0）；

（2）①假设存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP相似．
∵CP=

3

t，OQ=t，OP=

3

-

3

t，
由

OQ

BC

=

OP

CP

或

OQ

CP

=

OP

BC

得：

t

1

=

3 - 3 t

3 t

或

t

3 t

=

3 - 3 t

t

，
即t²+t-1=0或3t=2，
解得t=

-1± 5

2

或t=

2

3

．
又∵0≤t≤1，
∴当t=

-1+ 5

2

或t=

2

3

时，△OPQ与△BCP相似．（7分）
②S=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP
=

3

-

3

2

（1-t）-

1

2

t（

3

-

3

t）-

1

2

•

3

t
=

3

2

(t2-t+1)
=

3

2

（t-

1

2

）²+

3 3

8

当t=

1

2

时，面积S有最小值，最小值是

3 3

8

．（10分）

点评：此题考查了平面坐标系与四边形，相似三角形的综合知识，解题时要注意数形结合思想的应用．