Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，点P由点B向点A运动，同时，点Q由点C出发沿线段AC的延长线运动，已知点P、Q运动速度相等，点Q与线段BC相交于点D，过点P作PE∥AQ，交BC于点E．

（1）如图1，求证：D为CE中点；

（2）如图2，过点P作PF⊥BC，垂足为点F，在P、Q的运动过程中，请判断DF的长度是否为定值；若是，请求出DF的长度；若否，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DF的长为定值，DF=4

【解析】

（1）先根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠PEB，则有PB=PE，再根据P,Q速度相等通过等量代换得出PE=CQ，然后利用AAS证明△PDE≌△QDC，则有DE=DC，则 结论可证；

（2）由等腰三角形三线合一可得出BF=EF，则有DF=EF+DE=BC，因为BC是定值，所以DF也是定值．

（1）证明：∵点P、Q运动速度相等，点P、Q同时出发

∴BP=CQ

∵PE∥AQ

∴∠DPE=∠DQC，∠PEB=∠ACB

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠PEB

∴PB=PE

即：PE=CQ

在△PDE与△QDC中，

∴△PDE≌△QDC（AAS）

∴DE=DC

即：D为CE中点

（2）DF的长度是定值，

由（1）得：PB=PE，

∵PF⊥BC

∴BF=EF

由（1）得：DE=DC

∴EF=BE，DE=CE

∴DF=EF+DE=BE+CE=(BE+CE)=BC

∵BC=8

∴DF=4

故DF的长为定值，DF=4