Question

（2013•同安区一模）如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，tanB=1．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA和BA向A方向运动，动点N的运动速度是动点M运动速度的两倍，当点M或点N谁先运动到点A时，M、N两点同时停止运动．设动点M的运动速度是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．
（1）当x=1时，求MN的长；
（2）是否存在x的值，使得△CMN是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的x值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得AM、AN的长度，然后在直角△AMN中利用勾股定理即可求得；
（2）过C作CE⊥AB，垂足为E，利用运动时间x秒表示出CM、CN、MN的长，然后分∠CMN=90°，∠MCN=90°和∠MNC=90°三种情况进行讨论，依据勾股定理即可列方程求得x的值．

解答：解：（1）当x=1时，DM=1，BN=2
∵AB=6，AD=4
∴AM=3，AN=4
∵∠A=90°
∴MN=

AM2+AN2

=5；

（2）存在．
过C作CE⊥AB，垂足为E，
∵DA⊥AB，
∴DA‖CE，
∵DC‖AE
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=4，AE=DC=2
在Rt△CEB中
∵tanB=1
∴CE=BE=4
当运动x秒时，DM=x，NB=2x，AN=6-2x，AM=4-x，EN=|4-2x|，（0≤x≤3）
∴CM²=4+x2，MN²=（4-x）²+（6-2x）²=52-32x+5x²，
CN²=16+（4-2x）²=32-16x+4x²，
1）当∠CMN=90°时，CN²=CM²+MN²，
∴32-16x+4x²=4+x²+52-32x+5x²，
解得：x=2或6（舍去），
∴当x=2时，△CMN是直角三角形；
2）当∠MCN=90°时，MN²=CM²+CN²，
则32-16x+4x²+4+x2=52-32x+5x²，
解得：x=1，
∴当x=1时，△CMN是直角三角形；
3）当∠MNC=90°时，CM²=MN²+CN²，
则32-16x²+4x²=4+x²-52+32x-5x²，
即x²-6x+10=0，
方程无解．

点评：本题考查了勾股定理和直角梯形的综合应用，正确利用x表示出CM、CN、MN的长是关键．