【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点.
(1)若ED⊥EF,求证:ED=EF;
(2)在(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形?并证明你的结论(请先补全图形,再解答);
(3)若ED=EF,ED与EF垂直吗?若垂直给出证明.
【答案】答案见解析.
【解析】
试题(1)根据平行四边形的想知道的AD=AC,AD⊥AC,连接CE,根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;
(2)根据全等三角形的性质得到CF=AD,等量代换得到AC=CF,于是得到CP=AB=AE,根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形;
(3)过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,证得△AME≌△CNE,△ADE≌△CFE,根据全等三角形的性质即可得到结论.
试题解析:(1)在ABCD中,∵AD=AC,AD⊥AC,∴AC=BC,AC⊥BC,连接CE,
∵E是AB的中点,∴AE=EC,CE⊥AB,∴∠ACE=∠BCE=45°,∴∠ECF=∠EAD=135°,
∵ED⊥EF,∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED,
在△CEF和△AED中,∵∠CEF=∠AED,EC=AE,∠ECF=∠EAD,∴△CEF≌△AED,
∴ED=EF;
(2)由(1)知△CEF≌△AED,CF=AD,∵AD=AC,∴AC=CF,
∵DP∥AB,∴FP=PB,∴CP=AB=AE,∴四边形ACPE为平行四边形;
(3)垂直,理由:过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,在△AME与△CNE中,∵∠M=∠FNE=90°,∠EAM=∠NCE=45°,AE=CE,
∴△AME≌△CNE,∴∠ADE=∠CFE,
在△ADE与△CFE中,∵∠ADE=∠CFE,∠DAE=∠FCE=135°,DE=EF,
∴△ADE≌△CFE,∴∠DEA=∠FEC,
∵∠DEA+∠DEC=90°,∴∠CEF+∠DEC=90°,∴∠DEF=90°,∴ED⊥EF.
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【题目】如图,点A是线段DE上一点,∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE.
(1)求证:DE=BD+CE.
(2)如果是如图2这个图形,BD、CE、DE有什么数量关系?并证明.
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【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=CB,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE,连接DE、DF、EF.
(1)求证:△ADF≌△CEF;
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,顶点A、B的坐标分别是A(1,0),B(0,﹣2),顶点C、D在双曲线 上,边AD与y轴相交于点E, =10,则k的值是( )
A.-16
B.-9
C.-8
D.-12
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【题目】已知∠ACB=90°,AC=2,CB=4.点P为线段CB上一动点,连接AP,△APC与△APC′关于直线AP对称,其中点C的对称点为点C′.直线m过点A且平行于CB
(1)如图①:连接AB,当点C落在线段AB上时,求BC′的长;
(2)如图②:当PC=BC时,延长PC′交直线m于点D,求△ADC′面积;
(3)在(2)的条件下,连接BC′,直接写出线段BC′的长.
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【题目】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m,这辆小汽车超速了吗?
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【题目】画图并填空:如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE;
(3)线段AA′与线段BB′的关系是: ;
(4) 求四边形ACBB′的面积.
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【题目】如图所示,△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P,PH⊥AC于H.若∠ABC=60°,则下面的结论:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③△ABC≌△APC;④PA∥BC;⑤∠APH=∠BPC,其中正确结论的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况,获得如下信息:
信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天;
信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
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