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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,ADAC,EAB的中点,FAC延长线上一点.

(1)EDEF,求证:ED=EF;

(2)(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形?并证明你的结论(请先补全图形,再解答);

(3)ED=EF,EDEF垂直吗?若垂直给出证明.

【答案】答案见解析.

【解析】

试题(1)根据平行四边形的想知道的AD=ACADAC,连接CE,根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;

(2)根据全等三角形的性质得到CF=AD,等量代换得到AC=CF,于是得到CP=AB=AE,根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形;

(3)过EEMDADA的延长线于M,过EENFCFC的延长线于N,证得AME≌△CNE,△ADE≌△CFE,根据全等三角形的性质即可得到结论.

试题解析:(1)在ABCD中,AD=ACADAC,∴AC=BCACBC,连接CE

EAB的中点,AE=ECCEAB,∴∠ACE=∠BCE=45°,∴∠ECF=∠EAD=135°,

EDEF,∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED

CEFAED中,∵∠CEF=∠AEDEC=AE,∠ECF=∠EAD,∴△CEF≌△AED

ED=EF

(2)由(1)知CEF≌△AEDCF=AD,∵AD=AC,∴AC=CF

DPAB,∴FP=PB,∴CP=AB=AE,∴四边形ACPE为平行四边形;

(3)垂直,理由:过EEMDADA的延长线于M,过EENFCFC的延长线于N,在AMECNE中,∵∠M=∠FNE=90°,∠EAM=∠NCE=45°,AE=CE

∴△AME≌△CNE,∴∠ADE=∠CFE

ADECFE中,∵∠ADE=∠CFE,∠DAE=∠FCE=135°,DE=EF

∴△ADE≌△CFE,∴∠DEA=∠FEC

∵∠DEA+∠DEC=90°,∴∠CEF+∠DEC=90°,∴∠DEF=90°,∴EDEF

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